传媒19春《概率论与数理统计》平时作业
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第一章作业
习题1-2设为三事件，用的运算关系表示下列各事件.
（1）发生，与不发生，
（2）与都发生，而不发生，
（3）中至少有一个发生，
（4）都发生，
（5）都不发生，
（6）中不多于一个发生，
（7）中不多于两个发生，
（8）中至少有两个发生.
习题1-3(1) 设是三个事件,且,
,,求至少有一个发生的概率.
(2) 已知,,,,,
,,
求,,,,,的概率.
(3)已知(ⅰ)若互不相容,求
(ⅱ)若,求.习题1-6在房间里有10个人，分别佩戴从1好到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码，（1）求最小号码为5的概率；（2）求最大号码为5的概率.习题1-7某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些发给顾客，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆，和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？习题1-11将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率.习题1-14(1)已知，，，求.
(2)已知，，，求.习题1-18某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，（1）求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率；（2）若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？习题1-24有两箱同种类的零件.第一箱装50只，其中10只是一等品；第二箱装30只，其中18只一等品. 今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样.求（1）第一次取到的零件是一等品的概率.（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.
习题1-27设本题涉及的事件均有意义.设都是事件.
已知证明.
若,证明.
若设也是事件,且有,,
证明.习题1-28有两种花籽,发芽率分别为,,从中各取一颗,设花籽是否发芽相互独立.求:(1)这两颗花籽都能发芽的概率.(2)至少有一颗能发芽的概率.(3)恰有一颗能发芽的概率.习题1-31设事件的概率均大于零,说明一下的叙述(1)必然对.(2)必然错.(3)可能对.并说明理由.
(1)若与互不相容,则它们相互独立.
(2)若与相互独立,则它们互不相容.
(3),且互不相容.
(4),且相互独立.
习题1-34试分别求以下两个系统的可靠性:
(1) 设有4个独立工作的元件1，2，3，4.它们的可靠性分别为，将它们按图(1)方式连接（并串联系统）；（2）设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5，它们的可靠性均为，将它们按图(2)的方式联接（桥式系统）.
第二章作业
习题2-2(1)一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量的分布律.
(2)将一颗骰子抛掷两次，以表示两次中得到的小的点数，试求的分布律.习题2-5一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各窗子是随机的.（1）以表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求的分布律.（2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次.以表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求的分布律.(3)求试飞次数小于的概率和试飞次数小于的概率.习题2-10有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次.
（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？
（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次，成功3次.试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）.习题2-15保险公司在一天内承保了5000张相同年龄,为期一年的寿险保单,每人一份.在合同有效期内,若投保人死亡,则公司需赔付3万元.设在一年内,该年龄段的死亡率为,且各投保人是否死亡相互独立.求该公司对于这批投保人的赔付不超过30万元的概率(利用泊松分布计算).习题2-16有一繁忙的汽车站,每天有大量的汽车通过,设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为.在某天的该段时间内有辆汽车通过.问出事故的车辆数不小于的概率是多少?(利用泊松分布计算)习题2-20设随机变量的分布函数为
求,,.
求概率密度.习题2-24设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布，其概率密度为
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出的分布律，并求.习题2-26设，求（1），，，；
（2）确定，使得；（3）设满足，问至多为多少？习题2-29一工厂生产的电子管的寿命（以小时计）服从参数为的正态分布，若要求，允许最大为多少？习题2-33设随机变量的分布律为
-2
-1
0
1
3
求的分布律.习题2-35设，
(1)求的概率密度；
(2)求的概率密度；
(3)求的概率密度.
第三章作业
习题3-2(1)盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以表示取到黑球的只数，以表示取到红球的只数，求和的联合分布律.
(2)在(1)中求,,,.习题3-6将一枚硬币掷3次，以表示前2次出现的次数，以表示3次中出现的次数，求的联合分布律以及的边缘分布律.
习题3-9设二维随机变量的概率密度为
（1）试确定常数；（2）求边缘概率密度.习题3-13在第9题中，
（1）求条件概率密度，特别，写出当时的条件概率密度；
（2）求条件概率密度，特别，分别写出当时的条件概率密度；（3）求条件概率，.习题3-18设和是两个相互独立的随机变量，在上服从均匀分布，的概率密度为
（1）求和的联合概率密度；
（2）设含有的二次方程，试求有实根的概率.习题3-22设和是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：
求随机变量的概率密度.习题3-29设随机变量的概率密度为
（1）确定常数；（2）求边缘概率密度；（3）求函数的分布函数.
习题3-34设是相互独立的随机变量，证明
第四章作业
习题4-2某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以表示一天中调整设备的次数，试求（设诸产品是否为次品是相互独立的）.习题4-6设随机变量的分布律为
-2
0
2
0.4
0.3
0.3
求.习题4-7设随机变量的概率密度为
求的数学期望.习题4-9设的概率密度为
求.习题4-15将只球号随机地放进只盒子中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记为总的配对数，求.习题4-22(1)设随机变量相互独立,且有,,
设,求.
(2)设随机变量和相互独立,且,,求,的分布,并求,.
习题4-27下列各对随机变量和,问哪几对是相互独立的?哪几对是不相关的?
(1),.
(2) ,
(3),,
若的概率密度为
(4)
(5)
习题4-28设二维随机变量的概率密度为
试验证：和是不相关的，但和不是相互独立的.习题4-34(1)设随机变量,,,
,求常数,使最小,并求的最小值.
(2)设随机变量服从二维正态分布,且有,,证明当时,随机变量,相互独立.
第五章作业
习题5-1据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.习题5-4设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg ,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？
习题5-5有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？
习题5-11随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的pH值.各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：（1）求；
（2）求
习题5-13某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望（未知），方差为了估计，随机地取只这种器件，在时刻投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命为，以作为的估计.为了使，问至少为多少？
习题5-14某药厂断言,该厂生产的某种药品对于医治一种疑难血液病的治愈率为,医院任意抽查100个服用此药品的病人,若其中多于75人治愈,就接收此断言,否则拒绝此断言.
(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是,问接收这一断言的概率是多少?
(2) 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是,问接收这一断言的概率是多少?第六章作业
习题6-1在总体中随机抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8的概率.
习题6-2在总体中随机抽一容量为5的样本.（1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率；（2）求概率；
.习题6-3求总体的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于的概率.习题6-4(1) 设样本来自总体,
,试确定常数,使得;
(2) 设样本来自总体,,试确定常数,
使得;
(3)已知,求证,.习题6-6设总体，是来自总体的样本，
(1) 求的分布律.
(2) 求的分布律.
(3) 求.习题6-7设总体，是来自总体的样本，
求.习题6-9设在总体中抽取一容量为16的样本.这里均为未知.（1）求
，其中为样本方差；（2）求.第七章作业
习题7-2设为总体的一个样本，为一相应的样本值.求下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值.
（1）
其中为已知，，为未知参数.
（2）
其中，为未知参数.
（3），
为未知参数.习题7-3求上题中未知参数的最大似然估计量和估计值.习题7-4(1) 设总体具有分布律
1
2
3
其中为未知参数.已知取得了样本值,试求的矩估计值和最大似然估计值.
(2) 设是来自参数为的泊松分布总体的一个样本，试求的最大似然估计量及矩估计量.
习题7-10设是来自总体的一个样本，.
（1）确定常数使为的无偏估计；
（2）确定常数使是的无偏估计（是样本均值和样本方差）.习题7-11设总体的概率密度为
是来自总体的样本.
(1)验证的最大似然估计量是.
(2)证明是的无偏估计量.
习题7-12设是来自均值为的指数分布总体的样本。其中未知。设有估计量，
，。
（1）指出中哪几个是的无偏估计量；
（2）在上述的无偏估计中指出哪一个较为有效
习题7-16设某种清漆的9个样本，其干燥时间（单位：）分别为6.05.75.86.57.06.35.66.15.0设干燥时间总体服从正态分布，求的置信度为0.95的置信区间.
（1）若由以往经验知（小时），
（2）若为未知。（，）.习题7-17分别使用金球和铂球测定引力常数（单位）。
（1）用金球测定观测值为；
（2）用铂球测定观测值为。
设测定值总体为，均为未知，试就（1）（2）两种情况分别求的置信度为的置信区间，并求的置信度为的置信区间.习题7-21随机地从A批导线中抽4根,又从B批导线中抽5根,测得电阻为
A批导线:,B批导线:
设测定数据分别来自分布,,且两样本相互独立.又均为未知.试求的置信水平为的置信区间.第八章作业
习题8-1某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）
3.25 3.27 3.24 3.26 3.24
设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在=0.01下能否接受假设：这批矿砂的镍含量均值为3.25.
习题8-3要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时。已知该种元件寿命服从标准差为=100小时的正态分布。试在显著性水平下判定这批元件是否合格？设总体均值为，未知.即需检验假设.
习题8-4下面列出的是某工厂随机抽取的20只部件的装配时间
,
.
设装配时间的总体服从正态分布,均未知.是否可以认为装配时间的均值显著大于10(取)?
习题8-12某种导线,要求其电阻的标准差不得超过,今在生产的一批导线中取样品9根,测得,设总体为正态分布,参数均未知,问在显著性水平下能否认为这批导线的标准差显著地偏大?习题8-14测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出,设测定值总体为正态分布，为总体方差，未知.试在水平下检验假设
.
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