西电21秋《计算方法》课程模拟试卷四答案
考试时间：90分钟
一. 选择（每题4分，共40分）
1. 设x* ＝ 1.732050808，取x＝1.73206，则x具有 位有效数字。
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
答案：C
解析：有效数字的概念。
2. 用选列主元的方法解线性方程组Ax＝b，是为了 。
A. 提高计算速度 B. 降低舍入误差 C. 简化计算步骤 D. 方便计算
答案：B
解析：列主元的概念和目的。
3. 通过 个点来构造多项式的插值问题称为线性插值。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：B
解析：线性插值的定义。
4. 以下方程求根的数值计算方法中，收敛速度最快的是 。
A. 二分法 B. 简单迭代法 C. 牛顿迭代法 D. 割线法
答案：C
解析：方程求根数值计算方法的比较。
5. 设b>a，在区间 上的插值型求积公式其系数为 ┅ ，则 ┅＋ ＝ 。
A. 3(b-a) B. 4(b-a) C. b-a D. b2-a2
答案：C
解析：拉格朗日插值基函数的性质。
6. 设函数f(x)在区间上连续，若满足 ，则方程f(x)=0在区间内一定有实根。
A. f(a)＋f(b)<0 B. f(a)＋f(b)>0 C. f(a)f(b) >0 D. f(a)f(b) <0
答案：D
解析：有根区间的判断方法。
7. 用于求解 的求积公式 是 。
A. 梯形公式 B. 辛卜生公式 C. 左矩形公式 D. 右矩形公式
答案：A
解析：梯形公式的定义和推导。
8. 设ƒ(x)= 5x3－3x2＋x＋6，取x1=0，x2=0.3，x3=0.6，x4=0.8，在这些点上关于ƒ(x)的插值多项式为P3(x)，则ƒ(0.9) - P3(0.9) = 。
A. 0.01 B. 0.001 C. 0 D. 0.00003
答案：C
解析：插值多项式的定义。
9. 已知x0＝2，f(x0)=46，x1＝4，f(x1)=88，则一阶差商f 为 。
A. 7 B. 20 C. 21 D. 42
答案：C
解析：差商的计算。
10. 用毫米刻度的直尺测量一长度为x*的物体，测得其长度的近似值为x = 1.94dm，则其误差上限为 mm。
A. 0.05 B. 0.5 C. 0.04 D. 0.4
答案：B
解析：误差的定义。
二. 利用秦九韶算法计算多项式 在x＝2处的值 p(2)。（8分）
答案和评分标准：
将所有多项式的系数按降幂排列，缺项系数看成零。
（6分）
所以p(2) = -9。 （2分）
三. 用割线法求方程 在x = 1.5附近的根，取x0=1.5, x1=1.4，最终结果保留5位有效数字。（8分）
答案和评分标准：
取初值x0 = 1.5，x1 = 1.4，割线法的迭代格式为：
（4分）
按上式计算得：
x2 = 1.33522
x3 = 1.32541
x4 = 1.32472
x5 = 1.32472
取x* 1.3247。 （4分）
四. 用列主元高斯消去法解方程组：
（8分）
答案和评分标准：
（4分）
再用“回代过程”可计算解：
（4分）
五. （10分）
(1). 已知x = 0, 2, 3, 5，对应的函数值为y = 1, 3, 2, 5，作三次牛顿插值多项式。
(2). 若给(1)已知的四个点再增加一个点x = 6，y = 6，作四次牛顿插值多项式。
答案和评分标准：
(1) 作差商表
x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商
0 1
2 3 1
3 2 -1 -2/3
5 5 3/2 5/6 3/10
（6分）
(2) 如已知x = 0, 2, 3, 5, 6时，对应的函数值为y = 1, 3, 2, 5, 6（即增加了一个点），作差商表
x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商
0 1
2 3 1
3 2 -1 -2/3
5 5 3/2 5/6 3/10
6 6 1 -1/6 -1/4 -11/120
四次牛顿插值多项式为
（4分）
六. （8分）
求 在 上的积分 , 已知
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(1)根据上述数据，写出复化梯形公式 的表达式并给出计算结果。
(2)由上述数据，写出复化辛卜生公式 的表达式并给出计算结果。
答案和评分标准：
(1)
（4分）
(2)
（4分）
七.在区间上，取h = 0.1，用改进欧拉法求解初值问题。要求计算过程至少保留小数点后4位数字。（10分）
答案和评分标准：
用改进欧拉法计算公式如下：
（6分）
计算结果如下表： （4分）
xn
改进欧拉法yn
0 1
0.1 1.095909
0.2 1.184097
0.3 1.266201
0.4 1.343360
0.5 1.416402
0.6 1.485956
0.7 1.552514
0.8 1.616475
八. 设方程f(x) =0在区间上有唯一实根，如果用二分法求该方程的近似根，试分析至少需要二分几次才能使绝对误差限为0.001。（8分）
答案和评分标准：
设方程的精确解为x*，任取近似根x (有根区间)，
则 （4分）
所以至少要二分9次，才能保证近似根的绝对误差限是0.001。（4分）
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