吉大13春《土质学与土力学》第五章复习资料
吉大13春《土质学与土力学》第五章地基中的应力计算课程复习资料 主要知识点掌握程度
掌握土中自重应力,基底压力和基底附加压力,基底压力的简化计算 ,地基附加应力计算,影响土中附加应力分布的因素；重点掌握地基附加应力计算。
知识点整理
一、概述
土体中应力状态发生变化
（1）、引起地基土的变形，导致 建筑物的沉降、倾斜或水平位移。
（2）、当应力超过地基土的强度时，地基就会因丧失稳定性而破坏，造成建筑物倒塌。
应力计算的基本假设：
1.假设地基土为连续、均匀、各向同性、半无限的线弹性体
2.弹性理论。
土中的应力按引起的原因可分为:
由土本身有效自重在地基内部引起的自重应力;
由外荷(静荷载或动荷载) 在地基内部引起的附加应力。
二、土中自重应力
研究目的：确定土体的初始应力状态
研究方法：土体简化为连续体，应用连续体力学 (例如弹性力学)方法来研究土中应力的分布假设天然土体是一个半无限体，地面以下土质均匀，天然重度为g (kN/m3)，则在天然地面下任意深度z(m)处的竖向自重应力scz(kPa)，可取作用于该深度水平面上任一单位面积上土柱的重量gz´l计算，即：
scz= gz
scz沿水平面均匀分布，且与z成正比，即随深度增加而增加，且直线性分布。
地基中除有作用于水平面上的竖向自重应力外，在竖直面上还作用有水平向的侧向自重应力。由于地基中的自重应力状态属于侧限应力状态,故ex=ey=0，且scx=scy，根据广义虎克定理，侧向自重应力scx和scy应与scz成正比，而剪应力均为零，即
scx= scy= K0scz
txy=tyz=tzx＝０
式中K0 ―比例系数，称为土的侧压力系数或静止土压力系数。它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直向有效应力之比。
粒间应力是通过土颗粒接触点传递的，是影响土体强度的重要因素，故粒间力在截面上的平均应力成为有效应力。
定义：
土中自重应力为土自身有效重力在土体内引起的应力
均质土中的应力图
成层地基土中自重应力
若天然地面下深度z范围内各层土的厚度自上而下分别为h1、h2、… hn，成层土自重应力为高度z土柱中各层土重的总和，可得到的计算公式：
式中
sc— 天然地面下任意深度z处的竖向有效自重应力(kPa)；
n — 深度z范围内的土层总数
hi — 第i层土的厚度(m)；
gi— 第i层土的天然重度，对地下水位以下的土层取有效重度gi (kN/m3)
成层土中竖向自重应力沿深度的分布
注意
地下水位位于同一土层中，计算自重应力时，地下水位面 应作为分层的界面。
在地下水位以下，如埋藏有不透水层,由于不透水层中不存在水的浮力，所以层面及层面以下的自重应力应按上覆土层的水土总重计算。
例5-1某建筑场地的地质柱状图和土的有关指标列于图5—3 和表5—1中。试计算地面下深度为2.5m、5.0m 和9.0m处的自重应力，并绘制自重应力分布图。
解：计算过程及结果见下表
三、基底压力和基底附加压力
建筑物荷载通过基础传递给地基，基础底面传递给地基表面的压力，称基底压力。
基底压力的分布规律主要是取决于上部结构、基础的刚度和地基的变形条件，是三者共同作用的结果。
基础刚度的影响
柔性基础能随着地基土表面而变形，作用在基础底面上的压力分布与作用在基础上的荷载分布完全一样。因此，若上部荷载均匀分布，基底接触压力也为均匀分布。
绝对刚性基础的基础底面保持平面，即基础各点的沉降大小一样，基础底面上的压力分布不同于上部荷载的分布情况。
基底压力和与地面沉降
柔性基础 绝对刚性
基底压力计算假设
根据弹性理论中圣维南原理，在总荷载保持定值的前提下，地表下一定深度处，土中应力分布受基底压力分布的影响并不显著，而只取决于荷载合力的大小和作用点位置。
因此，除了在基础设计中，对于面积较大的片筏基础、箱形基础等需要考虑基底压力的分布形状的影响外，对于具有一定刚度以及尺寸较小的柱下单独基础和墙下条形基础等，其基底压力可近似地按直线分布的图形计算，即可以采用材料力学计算方法进行简化计算。
基底压力的简化计算
（一）、中心荷载下的基底压力
中心荷载下的基础，其所受荷裁的合力通过基底形心。基底压力假定为均匀分布，此时基底平均压力设计值p(kPa)按下式计算：
式中 p — 作用任基础上的竖向力设计值(kN)；
G — 基础自重设计值及其上回填土重标准值的总重(kN)；G=gGAd ,gG 其中为基础及回填土之平均重度，一般取20kN/m3，但在地下水位以下部分应扣去浮力，即取10kN/m3；d为基础埋深，必须从设计地面或室内外平均设计地面算起(m)；
A — 基底面积(m 2)，对矩形基础A＝lb，l和b分别为矩形基底的长度和宽度(m)。
对于荷载沿长度方向均匀分布的条形基础，则沿长度方向截取一单位长度的截条进行基底平均压力设计值p(kPa)的计算，此时上式中A改为b(m)，而F及G则为基础截面内的相应值(kN/m)。
（二）、偏心荷载下的基底压力
单向偏心荷载下的矩形基础如图所示。设计时通常取基底长边方向与偏心方向一致，此时两短边边缘最大压力设计值pmax与最小压力设计值pmin (kPa)按材料力学短柱偏心受压公式计算：
式中M — 作用于矩形基底的力矩设计值（kN.m）；
W — 基础底面的抵抗矩，W＝bl2/6（m）。
把偏心荷载(如图中虚线所示)的偏心矩e=M/(F+G)引入上式得：
当e＜l/6时，基底压力分布图呈梯形；
当e=l/6时，则呈三角形；
当e＞l/6时，按式(2)计算结果，距偏心荷载较远的基底边缘反力为负值，即pmin<0 。
由于基底与地基之间不能承受拉力，此时基底与地基局部脱开，使基底压力重新分布。因此，根据偏心荷载应与基底反力相平衡的条件，荷载合力应通过三角形反力分布图的形心[图(c)中实线所示分布图形]，由此可得基底边缘的最大压力pmax为：
式中 k— 单向偏心荷载作用点至具有最大压力的基底边缘的距离(m)。
基底附加压力
一般情况下，建筑物建造前天然土层在自重作用下的变形早已结束。因此，只有基底附加压力才能引起地基的附加应力和变形。
如果基础砌置在天然地面上，那末全部基底压力就是新增加于地基表面的基底附加压力。实际上，一般浅基础总是埋置在天然地面下一定深度处，该处原有的自重应力由于开挖基坑而卸除。因此，建筑物建造后的基底压力中应扣除基底标高处原有的土中自重应力后，才是基底平面处新增加于地基的基底附加压力，基底平均附加压力设计值p0值按下式计算：
p0= p - sc = p- g0d
式中p — 基底平均压力设计值(kPa)；
sc— 土中自重应力标准值，基底处sc＝g0d (kPa)；
g0— 基础底面标高以上天然土层的加权平均重度， ，其中地下水位下土层的重度取有效重度；
d — 基础埋深，必须从天然地面算起，对于新填土场地则应从天然地面起算，d=d1+ d2+ ...+ dn (m)。
基底平均附加压力的计算
四、 地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。它是使地基产生变形和引起建筑物沉降的主要原因。
地基附加应力计算的假定
(1) 地基土是均质、各向同性的半无限空间线弹性体。
(2) 直接采用弹性力学理论解答。
(3) 基底压力是柔性荷载，不考虑基础刚度的影响。
叠加原理
叠加原理建立在弹性理论基础之上，当地基表面同时作用有几个力时，可分别计算每一个力在地基中引起的附加应力，然后每一个力在地基中引起的附加应力累加求出附加应力的总和。
（一）、竖向集中力作用下的地基附加应力─布辛奈斯克解
法国J.布辛奈斯克(Boussinesq, 1885)运用弹性理论推出了在弹性半空间表面上作用一个竖向集中力时，半空间内任意点M(x、y、z)处的六个应力分量和三个位移分量的弹性力学解答:
在六个应力分量和三个位移分量的公式中，竖向正应力sz具有特别重要的意义，它是使地基土产生压缩变形的原因。利用几何关系，则sz式改写为：
K 称之为集中力作用下的竖向附加应力系数。
集中作用下的竖向附加应力系数K
sz 的分布特征如下：
1.在集中力P作用线上的sz分布
附加应力sz随深度z的增加而减少，值得注意的是，当z＝0时，sz＝∞。说明该解不适用于集中力作用点处及其附近区域，因此在选择应力计算点时，不应过于接近集中力作用点；另一方面也说明在靠近P作用线处应力sz很大。
2.在r＞0的竖直线上的sz分布
当z＝0时sz＝0；随着z 的增加，sz从零逐渐增大，至一定深度后又随着z的增加逐渐变小。
3.在z ＝常数的水平面上的sz分布
sz值在集中力作用线上最大，并随着r的增加而逐渐减小。随着深度z增加，集中力作用线上的sz减小，而水平面上应力的分布趋于均匀。
（二）、集中力作用下地基内的地基附加应力 ─明德林解
地基内竖向集中力作用下的求解问题
地基内水平集中力作用下的求解问题
地基内竖向和水平集中力作用下半空间的应力
（三）、地表水平集中力作用下的地基附加应力 ─西罗提解
（四）、均布竖向矩形荷载下的地基附加应力
设矩形荷载面的长度和宽度分别为l和b，作用于地基上的竖向均布荷载p0。求矩形荷载面角点下的地基附加应力，然后运用角点法求得矩形荷载下任意点的地基附加应力。
以矩形荷载面角点为座标原点。在荷载面内座标为(x,y)处取一微面积dxdy，并将其上的分布荷载以集中力p0dxdy来代替，则在角点M下任意深度z的M点处由该集中力引起的竖向附加应力dsz为：
将它对整个矩形荷载面A进行积分：
令 则
式中m =l/b ,n = z/b，Kc为均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数，简称角点应力系数，可按m及n值由表查得。 必须注意，在应用角点法计算Kc值时，b 恒为短边，l 恒为长边。
（五）、任意点的应力计算—角点法
利用角点下的应力计算公式和应力叠加原理，推求地基中任意点的时加应力的方法称为角点法。
(a) O点在荷载面边缘 sz=(KcI+KcII)p0
(b) O点在荷载面内 sz=(KcI+KcII+ KcIII+KcIV)p0
如果O点位于荷载面中心，则是KcI=KcII= KcIII= KcIV 得sz ＝4 KcI
(c) O点在荷载面边缘外侧 sz=(KcI- KcII+ KcIII- KcIV)p0
(d) O点在荷载面角点外侧 sz=(KcI- KcII- KcIII+KcIV)p0
应用角点法计算Kc值时，b 恒为短边，l恒为长边。
例5-2以角点法计算图5—15所示矩形基础甲的基底中心点垂线下不同深度处的地基附加应力σz的分布,并考虑两相邻基础乙的影响（两相邻柱距离为6m，荷载同基础甲） 。
解：
（1）计算基础甲的基底平均附加压力
基础及其上回填土的总重：
基底平均压力设计值：
基底处的土中自重压力标准值：
基底平均附加压力设计值：
（2）计算基础甲中心点o下由本基础荷载引起的σz，基底中心点可看成是四个相等小矩形荷载Ⅰ(oabc)的公共角点长宽比为l/b=2.5/2=1.25。取不同深度可通过表5-2查得地基附加应力系数Kc，计算计算过程见表A，并将计算结果绘成σz分布。
（3）计算基础甲中心点o下由两相邻基础乙的荷载引起的σz，此时中心点可看成是四个与Ⅰ(oafg)相同的矩形和另外四个与Ⅱ (oaed)相同的巨形的公共角点，其长宽比为l/b=8/2.5=3.2和l/b=4/2.5=1.6 。同样可通过表5-2查得地基附加应力系数Kc，计算计算过程见表B，并将计算结果绘成σz分布。
表A 基础甲中心点o下由本基础荷载引起的σz
表B 基础甲中心点o下由两相邻基础乙的荷载引起的σz
例5-3 如图5—16所示，地基分别作用均布基底附加压力为 用角点法计算A点下10m处的附加应力σz。
解：
通过A点将荷载面积分成1、2、3、4、5五个子区域，利用表5-3即可查出地基附加应力系数Kc，结合叠加原理，A点下附加应力计算公式为
各矩形区角点附加应力系数为
故A点下10m处的附加应力为
（六）、三角形分布的竖向矩形荷载下的地基附加应力
设竖向荷载沿矩形面一边b方向上呈三角形分布(沿另一边l的荷载分布不变)，荷载的最大值为p0，取荷载零值边的角点1为座标原点，则可将荷载面内某点(x，y)处所取微面积dxdy上的分布荷载以集中力(x/b)p0dxdy代替。由该集中力引起角点1下深度 z处M点的附加应力为dsz为：
（七）、三角形分布的竖向矩形荷载下的地基附加应力
在整个矩形荷载面积进行积分后得角点1下任意深度z处竖向附加应力sz为：
其中
令m =l/b n = z/b
显然可以推出荷载最大边角点2下任意深度z 处的竖向附加应力
Kt1和Kt2都是m=l/b和n=z/b的函数，可查表得到
（八）、均布水平矩形荷载下的地基附加应力
其中：
Kh为均布水平荷载角点下竖向附加应力系数
b为平行于水平荷载方向的边长
l 为垂直于水平荷载方向的边长
（九）、均布竖向圆形荷载下的地基附加应力
（十）、均布圆形荷载中心点下竖向附加应力系数，可查表求得。
（十一）、线荷载和条形荷载下的地基附加应力
地基表面上作用无限长的条形荷载，荷载沿宽度可按任何形式分布，且在每一个截面上的荷载分布相同(沿长度方向则不变)，此时地基中产生的应力状态属于平面问题。因此，对于条形基础，如墙基、挡土墙基础、路基、坝基等，常可按平面问题考虑。
当荷载面积的长宽比l/b＞10时，计算的地基附加应力值与按l/b＝¥ 时的解相比误差甚少。
（十二）、线荷载作用下的地基附加应力－弗拉 曼（Flamant）解
在半空间表面无限长直线上，作用一个竖向均布线荷载。求在地基中任意点M处引起的附加应力。设一个竖向线荷载 (kN/m)作用在y座标轴上，则沿y轴某微分段dy上的分布荷载以集中力 代替，从而求得地基中任意点M处由P引起的附加应力dsz为：
积分求得M点的sz:
同理，按上述方法可推导出：
线荷载作用下的应力状态属于弹性力学中的平面应变问题，按广义虎克定律和ey＝0的条件可得：
在平面问题中需要计算的应力分量有sz、sx和txz三个。
（十三）、均布的竖向条形荷载
当地基表面宽度为b的条形面积上作用着竖向均布荷载p0 (kPa)，此时,地基内任意点M的附加应力sz可利用弗拉曼解和积分的方法求得。首先在条形荷载的宽度方向上取微分段dx，将其上作用的荷载视为线荷载，则在M点引起的竖向附加应力dsz为:
沿宽度b积分，即可得整个条形荷载在M点引起的竖向附加应力:
定义Ksz，Ksx，Ksxz分别为均布竖向条形荷载下的竖向附加应力系数、水平向附加应力系数和附加剪应力系数， 则
Ksz、Ksx、Ksxz值可按m＝x/b和n=z/b的数值查表得到。
条形基础下求地基内的附加应力时，必须注意坐标系统的选择。
（十四）、均布条形荷载下地基中附加应力的分布规律—结论
地基附加应力的分布规律可由等值线方式表示出来，如图，为均布条形荷载下三种附加应力等值线。
地基附加应力等值线
(a)均布条形荷载下sz等值线图 (b)均布方形荷载下sz等值线图
(c)条形荷载下的sx的等值线图 (d)条形荷载下的txz的等值线图
三角形分布的竖向条形荷载
当地基表面宽度为b的条形面积上作用着最大强度为pt的三角形分布荷载，首先在条形荷载的宽度方向上取微分段dx，将其上作用的荷载 视为线荷载，此时，可利用弗拉曼解和积分的方法求得地基内任意M点处的附加应力sz为：
式中 Ktz为三角形分布荷载附加向应力系数。其值可按m＝x/b和n=z/b的数值查表得到。
均布水平条形荷载
地基表面宽度为b的条形面积上作用一强度为ph的水平均布荷载，如图，则任一点M所引起的地基附加应力可由弹性理论表示，通过沿整个宽度积分，可得到M点的竖向附加应力。
五、影响土中附加应力分布的因素
地基中附加应力计算是在假定地基土是连续、均质、各向同性的半无限空间弹性体和考虑柔性荷载的理想条件下进行，因此，土中附加应力的计算与土的性质无关，这显然是不合理的。
（一）、变形模量随深度增大
土体的非均质和各向异性对土中附加应力分布产生影响土体在沉积过程中的受力条件使土的变形模量E0随深度逐渐增大(非均质地基)，在砂土地基中尤其显著。与通常假定的均质地基(E0不随深度变化)相比较，沿荷载中心线下，前者的地基附加应力sz将发生应力集中。
（二）、费洛列希建议采用半经验公式计算
（三）、薄交互层地基
天然沉积形成的水平薄交互层地基（各向异性地基）,影响土层中的附加应力分布。研究表明，与通常假定的均质各向同性地基比较，若水平向变形模量E0h大于竖向变形模量E0v，则在各向异性地基中将出现应力扩散现象；若水平向变形模量E0h小于竖向变形模量E0v，地基中将出现应力集中现象。
（四）、双层地基
天然形成的双层地基(非均质地基)有二种可能的情况:一种是岩层上覆盖着不厚的可压缩土层；另一种则是上层坚硬、下层软弱的双层地基。前者在荷载作用下将发生应力集中现象，而后者则将发生应力扩散现象。
（五）、双层地基竖向应力分布比较
应力扩散随上层厚度的增大而显著，还与土的变形模量和泊松比有关，影响参数可以表达为
式中
——上层土的变形模量和泊松比
——软弱下卧层土的变形模量和泊松比
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