吉大13春《测量学》第五章 测量误差的基本知识
吉大13春《测量学》第五章测量误差的基本知识一、 测量误差概述
概述测量误差的来源、分类和处理原则。
测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：
1、对同一量多次观测，其观测值不相同。
2、观测值之和不等于理论值：
三角形 α+β+γ≠180°
闭合水准 ∑h≠0
（一）、测量误差的来源
1. 仪器误差
2. 观测误差
3. 外界条件的影响
等精度观测：观测条件相同的各次观测。
不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。
粗差：因读错、记错、测错造成的错误。
（二）、测量误差的分类
1、系统误差:误差的大小、符号相同或按一定的规律变化。
在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性：
误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；
误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；
误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。
例 ：钢尺—尺长、温度、倾斜改正
水准仪 — i角
经纬仪 — c角、i角
注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。
消除和削弱的方法:
（1）校正仪器；
（2）观测值加改正数；
（3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。
2、偶然误差
在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列的观测，如果观测结果的差异在正负号及数值上，都没有表现出一致的倾向， 即没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。
偶然误差的特性真误差（观测值与理论值之差）
①在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性）
②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多；（密集性、区间性）
③绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可相互抵消；
④同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即：抵偿性）
误差处理的原则：
1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。
2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵 消和削弱。
3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据减少其影响。
二、衡量精度的标准
精度：又称精密度，指在对某量进行多次观 测中，各观测值之间的离散程度。
评定精度的标准中误差容许误差
（一）、 中误差定义 在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1， l2，……，ln，偶然误差（真误差）Δ1，Δ2，……，Δn，则中误差m的定义为：式中例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。
解：第一组观测值的中误差：
第二组观测值的中误差：
，说明第一组的精度高于第二组的精度
说明：中误差越小，观测精度越高
（二）、容许误差（极限误差）
定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
极限误差的作用：区别误差和错误的界限。
偶然误差的绝对值大于中误差9˝的有14个，占总数的35%，绝对值大于两倍中误差18 ˝的只有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。
中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。
（三）、 相对误差
相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式来表示，称其为相对（中）误差。即:
一般情况 :角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。
[例] 已知：D1=100m,m1=±0.01m，D2=200m,m2=±0.01m，求： K1, K2
解：
概念
误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律。
三、误差传播定律
（一）、一般函数
设非线性函数的一般式为：
式中： 为独立观测值；
为独立观测值的中误差。
求函数的全微分，并用“Δ”替代“d”，得
式中：是函数F对 的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：
误差传播定律的一般形式
例]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距离D
解：1.函数式
2.全微分
3.求中误差
（二）、 线性函数的误差传播定律
设线性函数为：
式中： 为独立的直接观测值，为常数， 相应的观测值的中误差为 。
（三）、运用误差传播定律的步骤
求观测值函数中误差的步骤:
1.列出观测值函数的表达式：
2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：
式中 是用观测值代入求得的值。
3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：
注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值。
误差传播定的几个主要公式
四、算术平均值的中误差
（一）、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为l1、l2……ln，中误差为m1、
m2 …mn，则其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
推导过程：
设未知量的真值为x，可写出观测值的真误差公式为
（i=1，2，…，n）
将上式相加得
或
故
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，
即 （算术平均值）
说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。
（二）、算术平均值中误差mL
因为
式中，1／n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。
设平均值的中误差为mL，则有
故
由此可知，算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍。
（三）、精度评定
第一公式
条件：观测值真值x已知
第二公式（白塞尔公式）
条件：观测值真值x未知，算术平均值L已知
其中—观测值改正数，
证明：
解：
（i=1，2，3，…，n）
（i=1，2，3，…，n）
两式相加，有
设 则
将上列等式两端各自平方，并求其和，则
将 代入上式，则
又因
故
由于 为偶然误差，它们的非自乘积 仍具有偶然误差的性质，根据偶然误差的特性，即
例题：设用经纬仪测量某个角6测回，观测之列于表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。
算术平均值L中误差是：
页:
[1]