吉大13春《结构力学》第六章 静定结构位移计算
吉大13春《结构力学》第六章 静定结构位移计算本章涉及概念及公式比较多，因此本次拓展资源对于各个概念、公式的意义及其应用进行了总结，并做出一些必要的说明。
一、位移
绝对位移：点（截面）线位移——分解成水平、垂直两方向
截面角位移：
杆件角位移：
相对位移：两点（截面）相对线位移——沿连线方向
两截面相对角位移：
两杆件相对角位移：
统称为：广义位移：角、线位移；相对、绝对位移
Δki：k：产生位移的方向；i：引起位移原因。如ΔAP、Δat、ΔAC
二、计算位移的有关假定（简化计算）
1）弹性假设
2）小变形假设：建立平衡、应变与位移、位移与荷载成线性关系
3）理想约束（联结，不考虑阻力摩擦）
4）位移叠加原理（类似内力、反力叠加）
变形体系 { 线性变形体系（线弹性体系）
荷载和位移呈线性关系，且荷载全撤除后位移将全部消失，无残余变形，（可用位移叠加原理）
非线形变形体系（分段线形叠加）
三、虚功
对于虚功，应该强调两点：1）假设的这种虚位移（或虚力）和所研究的实际力系（或实际位移）完全无关，可以独立地按照我们的目的而虚设；2）假设的虚位移（或虚力）在所研究的结构上应该是可能存在的位移（或力）状态；
也就是：1）位移状态：应该满足结构的变形协调条件，边界条件；2）力状态：应该满足结构的平衡条件。
关于虚功的几点说明 1、广义力和广义位移对应（虚功的几种形式）
2、无关
3、其他外因
4、一个实际、一个虚设、解决两类问题
5、独立按求解目的假设
6、满足相应条件
四、虚功方程及其说明
外力虚功=内力虚功
虚位移原理：实际力状态+虚位移状态
虚力原理：实际位移状态+虚力状态
说明：
1）
也就是说：
作功的外力和内力组成力状态应满足平衡条件；位移和应变（变形）、位移状态应满足变形协调条件和边界条件。这两种状态是彼此无关的，其中一个可以虚设，计算结构位移时应取实际的位移状态，再虚设一种平衡的力状态进行求解（虚力原理）。
2）上式变形体体系的虚功原理适用于所有变形体体系（二维板壳结构和三维块体），我们用于一维杆件结构的变形体体系的虚功原理。
3）实际的力状态或虚设的力状态（内外力）均应满足的静力平衡条件。
4）杆件结构的每一个杆件的位移状态（实际或虚设）均应满足：①任一微段满足应变～位移关系；②边界位移满足约束边界条件。
这两个条件即为变形协调条件，如果一个杆件的位移状态满足这两个条件，则称这种状态能满足变形协调条件或称他是几何可能的位移状态。
五、位移计算的一般公式应用说明
1、引起位移的外因可以是荷载，也可以是初应变、支座位移、温度变化、装配误差、制造误差、材料胀缩等。
2、引起位移的变形可以是弯曲变形，也可以是轴向变形或剪切变形，同时含刚体位移。
3、所能计算的位移可以是线位移，也可以是角位移或相对线（角）位移，也就是广义位移。
4、杆件结构的类型可以是梁、刚架、桁架、拱或组合结构，它们可以是静定的，也可以是超静定的。
5、材料可以是弹性，也可以是非弹性的。
6、应用这个公式每次可以求一个广义位移分量。沿待求位移方向加虚单位力时指向可以任意假设，若求得的位移为正值，则表示实际位移的指向和假设单位力的指向相同。
7、所加的虚单位广义力应该和所求的广义位移对应。
1）求某点（截面）的线位移：水平、竖向、某方向、总的线位移，沿所求线位移方向加单位力。
2）结构上某截面C的角位移，单位力偶。
3）杆件角位移θAB，加两集中力组成的单位力偶
4）A、B两点沿其连线方向的相对位移ΔAB，其连线上加两个方向相反的单位力
5）两截面相对角位移，两截面上加两方向相反的单位力偶。
6）两杆件的相对角位移（两个方向相反的单位力偶如图，每个单位力偶由两个集中力形成）
六、静定结构在荷载作用下的位移计算
一般公式：
1、、、：引起的内力 对于静定结构均可由平衡条件求解
、、：实际荷载引起的内力。两组内力符号规定一致
2、EA、EI、GA：抗拉、抗弯、抗剪刚度。位移与截面有关
3、：杆件长度积分；：各杆件和积分值求和——积分法，建立内力函数时，实际状态与虚拟状态的坐标应取为一致。
4、对于不同类型的结构，上式可以简化：
梁、刚架：以弯曲变形为主，轴向、剪切变形很小，可以略去：
桁架：只有轴力，且同一杆件的轴力、NP及EA沿杆长度l均为常数：
拱：一般取一项，但当拱轴线→压力线成为合理拱轴时，N为主要时取两项。
组合结构：梁式杆，只考虑M，轴力杆，只考虑N：
5、计算基本步骤：
（1）；（2）、、；（3）、、；（4）代入公式
6、公式应用：
这种直接利用公式积分求位移的方法：积分法。
注意：①各杆可根据需要取不同坐标轴，列内力表达式；
②同一杆两种状态内力表示时，坐标轴应相同；
③同一杆件，两种状态下，内力正负号规定应相同；
④须对所有杆件叠加，不能遗漏。
七、图乘法
对于一般EI=常数的等截面直杆，求由弯矩引起的位移时，若图是直线图形：
=；
若MP图为直线图形：
=
这两个式子就是图乘公式。
如果结构上每一个杆均可图乘，则Σ=Σ
图乘法求位移把列弯矩方程，求积分的问题→作M图，求面积、形心、竖标的问题，如果作M图比较熟练，那么当1）杆件较多，2）荷载较复杂，图乘法比积分法方便、优越。
公式应用说明： 1、注意应用的三个条件
2、符号：图和MP图在同侧（积分值为正，所以…），（w和y0在杆件基线的同侧时）w、y0为+，否则为- 。面积、形心、竖标三者关系。
3、几种常见图形的面积和形心位置
4、图乘法的关键：求w；形心的位置；y0，但应注意其三个应用条件。对于简单图形，确定w、形心的位置及y0均比较容易；对于复杂图形，确定w、形心的位置及y0均比较困难，这时可将图形分成许多简单图形的叠加，分别定面积、形心和竖标，分别图乘叠加，求代数和。注意：弯矩图的叠加是竖标的叠加，而非图形的叠加。
图乘法应用时的几个具体问题。
1）如两个弯矩图形均是直线，则标距y0可取自其中任一图形（对应）。
2）如一个为曲线，另一个是几段直线组成的折线，则分段叠加。
3）两个梯形图乘（公式计算）（变化形式，有正负、异侧）
4）均布荷载作用区段，区段叠加法、分解（对应），弯矩竖标叠加而非图形叠加。(a+b)图乘c=a图乘c+b图乘c，图乘法的优势：利用大家比较熟悉的内力图的作法。
八、静定结构温度变化时的位移计算应用注意说明
1、正负号规定：由于公式右边为内力所作的变形虚功，故当实际温度变形与虚拟内力方向一致时其积为正，相反时为负。一般规定：
t以升温为正；
轴力：以拉力为正；
弯矩：以弯曲变形与引起的变形一致为正
2、对于具体结构公式可以简化：
梁、刚架：一般略去轴向变形的影响。
桁架：
组合结构：综合考虑梁式杆、轴力杆
3、当桁架由于制造误差，其杆件长度与设计长度不符时，所引起的位移计算：
式中，为各杆长度的误差，升长为正，缩短为负；以拉力为正。
4、计算步骤：（1）；（2）绘、图，计算图形面积；（3）计算杆轴线处温度变化；（4）代入公式
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