华师13春《高等数学》练习测试题答案
华中师范大学网络教育学院《高等数学》练习测试题库
一．选择题
1.函数y=是（ ）
A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数
2.设f(sin )=cosx+1,则f(x)为（ ）
A2x －2 B2－2x C1＋x D 1－x
3．下列数列为单调递增数列的有（ ）
A．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B． ， ， ，
C．{f(n)},其中f(n)= D. { }
4.数列有界是数列收敛的（ ）
A．充分条件 B. 必要条件
C.充要条件 D 既非充分也非必要
5．下列命题正确的是（ ）
A．发散数列必无界 B．两无界数列之和必无界
C．两发散数列之和必发散 D．两收敛数列之和必收敛
6． （ ）
A.1 B.0 C.2 D.1/2
7．设 e 则k=( )
A.1 B.2 C.6 D.1/6
8.当x 1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）
A.x -1 B. x -1 C.(x-1) D.sin(x-1)
9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（ ）
A.必要条件 B.充分条件
C.充分必要条件 D.无关条件
10、当|x|<1时，y= （ ）
A、是连续的 B、无界函数
C、有最大值与最小值 D、无最小值
11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（ ）
A、 B、e C、-e D、-e-1
12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（ ）
A、 xarctan1/x B、arctan1/x
C、tan1/x D、cos1/x
13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，则下列结论成立是（）
A、f(x)+g(x)在点x0 必不连续
B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有
C、复合函数f在点x0必不连续
D、 在点x0必不连续
14、设f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且 f(x)=0，则a,b满足（ ）
A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0
C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0
15、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x0也连续的有（ ）
A、 B、
C、tan D、f
16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（ ）
A、 B、（0,л）
C、[-л/4,л/4] D、（-л/4,л/4）
17、在闭区间上连续是函数f(x)有界的（ ）
A、充分条件 B、必要条件
C、充要条件 D、无关条件
18、f(a)f(b) ＜0是在上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（ ）
A、充分条件 B、必要条件
C、充要条件 D、无关条件
19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）
A、f(x)=x+1 B、f(x)=x-1
C、f(x)=x2-1 D、f(x)=5x4-4x+1
20、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（ ）
A、k=0 B、k=1 C、k=2 D、-1/2
21、若直线y=x与对数曲线y=log x相切，则（ ）
A、e B、1/e C、ex D、e1/e
22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（ ）
A、x-y-1=0 B、x-y+3e-2=0 C、x-y-3e-2=0 D、-x-y+3e-2=0
23、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（ ）
A、±1 B、±л/2 C、±(л/2+1) D、±(л/2-1)
24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a， 则f`(-x0)=（ ）
A、a B、-a C、|a| D、0
25、设y=㏑，则y’|x=0=（ ）
A、-1/2 B、1/2 C、-1 D、0
26、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（ ）
A、-1 B、0 C、1 D、不存在
27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f,则y’|x=0=（ ）
A、0 B、1/ ㏑2 C、1 D、㏑2
28、已知y=sinx，则y(10)=（ ）
A、sinx B、cosx C、-sinx D、-cosx
29、已知y=x㏑x，则y(10)=（ ）
A、-1/x9 B、1/ x9 C、8.1/x9 D、-8.1/x9
30、若函数f(x)=xsin|x|，则（ ）
A、f``(0)不存在 B、f``(0)=0 C、f``(0) =∞ D、 f``(0)= л
31、设函数y=yf(x)在内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（ ）
A、-1 B、0 C、л/2 D、2
32、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（ ）
A、-1 B、0 C、1 D、2
33、函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x0可微的（ ）
A、充分条件 B、必要条件
C、充要条件 D、无关条件
34、函数f(x)在点x0可导是函数f(x)在x0可微的（ ）
A、充分条件 B、必要条件
C、充要条件 D、无关条件
35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）
A、0 B、-dx C、dx D、不存在
36、极限 的未定式类型是（ ）
A、0/0型 B、∞/∞型C、∞-∞ D、∞型
37、极限的未定式类型是（ ）
A、00型 B、0/0型 C、1∞型 D、∞0型
38、极限 =（ ）
A、0 B、1 C、2 D、不存在
39、x x0时，n阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x0 的（ ）
A、（n+1）阶无穷小 B、n阶无穷小
C、同阶无穷小 D、高阶无穷小
40、若函数f(x)在内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在内有（ ）
A、唯一的零点 B、至少存在有一个零点
C、没有零点 D、不能确定有无零点
41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（ ）
A、2 B、1/2 C、1 D、0
42、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（ ）
A、0 B、1/2 C、1 D、2
43、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（ ）
A、一个 B、两个 C、无穷多个 D、都不对
44、若∫f(x)dx=2ex/2+C=（ ）
A、2ex/2 B、4 ex/2 C、ex/2 +C D、ex/2
45、∫xe-xdx =（D ）
A、xe-x -e-x +C B、-xe-x+e-x +C
C、xe-x +e-x +C D、-xe-x -e-x +C
46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-ndx（ ）
A、不含有对数函数 B、含有反三角函数
C、一定是初等函数 D、一定是有理函数
47、∫-10|3x+1|dx=（ ）
A、5/6 B、1/2 C、-1/2 D、1
48、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（ ）
A、л B、2л C、4л D、6л
49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（ ）
A、л B、6л/15 C、16л/15 D、32л/15
50、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（ ）
A、 B、2 C、31/2 D、 21/2
51、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）
A、Z=4 B、Z=0 C、Z=-2 D、x=2
52、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（ ）
A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、两相交直线
53、方程=0所表示的图形为（ ）
A、原点（0，0，0） B、三坐标轴
C、三坐标轴 D、曲面，但不可能为平面
54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）
A、X轴 B、Y轴 C、Z轴 D、任一条直线
55、方程3x2-y2-2z2=1所确定的曲面是（ ）
A、双叶双曲面 B、单叶双曲面 C、椭圆抛物面 D、圆锥曲面
二、填空题
1、求极限(x2+2x+5)/(x2+1)=（）
2、求极限 [(x3-3x+1)/(x-4)+1]=（）
3、求极限 x-2/(x+2)1/2=（）
4、求极限x=（）
5、求极限(1-x)1/x= （）
6、已知y=sinx-cosx，求y`|x=л/6=（ ）
7、已知ρ=ψsinψ+cosψ/2，求dρ/dψ| ψ=л/6=（ ）
8、已知f(x)=3/5x+x2/5，求f`(0)=（）
9、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）
10、函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（ ）
11、函数y=2x3极小值与极大值分别是（）
12、函数y=x2-2x-1的最小值为（ ）
13、函数y=2x-5x2的最大值为（ ）
14、函数f(x)=x2e-x在[-1,1]上的最小值为（ ）
15、点（0，1）是曲线y=ax3+bx2+c的拐点，则有b=（ ） c=（ ）
16、∫xx1/2dx= （ ）
17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ ）
18、若∫f(x)dx=x2e2x+c，则f(x)= ( )
19、d/dx∫abarctantdt=（ ）
20、已知函数f(x)= 在点x=0连续， 则a=（）
21、∫02(x2+1/x4)dx=（）
22、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）
23、∫031/2a dx/(a2+x2)=（ ）
24、∫01 dx/(4-x2)1/2=（ ）
25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=（）
26、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=( )
27、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ ）
28、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ ）
29、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ ）
30、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ ）
31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ ）
32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（ ）
33、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为 ( )
34、设f(x) = +1，则f（л+10）=（ ）
35、函数Y=|sinx|的周期是 （ ）
36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是 （ ）
37、 y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（ ）
38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为 （ ）
39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为 （ ）
40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是
（ ）
41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（ ）
42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是 ( )
43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是 （ ）
44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（ ）
45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（ ）
三、解答题
1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。
2、求函数y=x2-54/x.(x＜0＝的最小值。
3、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。
4、相对数函数y=㏑x上哪一点处的曲线半径最小？求出该点处的曲率半径。
5、求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。
6、求y=ex，y=e-x与直线x=1所围图形的面积。
7、求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。
8、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。
9、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。
10、求曲线y=sinx，y=cosx直线x=0，x=л/2所围图形的面积。
11、求曲线y=3-2x-x2与x轴所围图形的面积。
12、求曲线y2=4(x-1)与y2=4(2-x)所围图形的面积。
13、求抛物线y=-x2+4x-3及其在点（0，3）和（3，0）得的切线所围成的图形的面积。9/4
14、求对数螺线r=eaθ及射线θ=-л，θ=л所围成的图形的面积。
15、求位于曲线y=ex下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。
16、求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
17、求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。
18、求曲线y=achx/a，x=0，y=0，绕x轴所产生旋转体的体积。
19、求曲线x2+(y-5)2=16绕x轴所产生旋转体的体积。
20、求x2+y2=a2，绕x=-b，旋转所成旋转体的体积。
21、求椭圆x2/4+y2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积。
22、摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱，y=0所围图形绕y=2a(a＞0)旋转所得旋转体体积。
23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。
24、计算曲线y=x/3(3-x)上相应于1≤x≤3的一段弧的长度。
25、计算半立方抛物线y2=2/3(x-1)3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。
26、计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点M（x,y）的弧长。
27、求对数螺线r=eaθ自θ=0到θ=ψ的一段弧长。
28、求曲线rθ=1自θ=3/4至θ4/3的一段弧长。
29、求心形线r=a(1+cosθ)的全长。
30、求点M（4，-3，5）与原点的距离。
31、在yoz平面上，求与三已知点A（3，1，2），B（4，-2，-2）和C（0，5，1）等距离的点。
32、设U=a-b+2c，V=-a+3b-c，试用a,b,c表示2U-3V。
33、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离。求这动点的轨迹方程。
34、将xoz坐标面上的抛物线z2=5x绕轴旋转一周，求所生成的旋轴曲方程。
35、将xoy坐标面上的圆x2+y2=9绕Z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
36、将xoy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
37、求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影方程。
38、求球体x2+(y-1)2+(z-2)2≤9在xy平面上的投影方程。
39、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。
40、求过点M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程。
41、求过（1，1，1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。
42、一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a={2,1,1}和b={1,-1,0}，试求这平面方程。
43、求平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角弦。
44、求过点（4，-1，3）且平行于直线(x-3)/2=y=(z-1)/5的直线方程。
45、求过两点M（3，-2，1）和M（-1，0，2）的直线方程。
46、求过点（0，2，4）且与两平面x+2z=1和y-3z=z平行的直线方程。
47、求过点（3，1，-2）且通过直线(x-4)/5=(y+3)/2+z/1的平面方程。
48、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。
49、求点P（3，-1，2）到直线x+2y-z+1=0的距离。
50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。
四、证明题
1．证明不等式：
2．证明不等式
3．设 ，g(x)区间 上连续，g(x)为偶函数，且 满足条件
证明：
4．设n为正整数，证明
5．设 是正值连续函数， 则曲线 在 上是凹的。
6.证明：
7．设 是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则
8．若 是连续函数，则
9．设 ， 在 上连续，证明至少存在一个 使得
10．设 在 上连续，证明：
11．设 在 上可导，且 ， 证明：
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《 高等数学》练习测试题库参考答案
一． 选择题
1——10 ABABD CCDAA
11——20 ABABB CAADC
21——30 DCDAA BCCCA
31——40 BABDD CCAAD
41——50 ABCDD CACCA
51——55 DDCCA
二． 填空题
1．2
2．3/4
3．0
4．e-1
5．e-1
6．(31/2+1)/2
7． （1+ ）
8．9/25
9． -1或1-
10．2
11．-1，0
12．-2
13．1/5
14．0
15．0，1
16. C＋ 2 x3/2/5
17. F(x)＋C
18. 2xe (1+x)
19.0
20.0
21.21/8
22.271/6
23./3a
24./6
25.0
26. 2(31/2-1)
27./2
28. 2/3
29. 4/3
30. 21/2
31. 0
32. 3 /2
33. (1,3)
34. 14
35.
36. 7/6
37. 32/3
38. 8a
39. 等腰直角
40. 4x+4y+10z-63=0
41. 3x-7y+5z-4=0
42. (1,-1,3)
43. y+5=0
44. x+3y=0
45. 9x-2y-2=0
三． 解答题
1. 当X=1/5时，有最大值1/5
2. X=-3时，函数有最小值27
3. R=1/2
4. 在点( ,- )处曲率半径有最小值3×31/2/2
5. 7/6
6. e+1/e-2
7. x-3y-2z=0
8. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5
9. （-5/3，2/3，2/3）
10. 2(21/2-1)
11. 32/3
12. 4×21/2/3
13. 9/4
14. (a -e )
15. e/2
16. 8a2/3
17. 3л/10
18.
19. 160л2
20. 2л2 a2b
21.
22. 7л2 a3
23. 1+1/2㏑3/2
24.2 -4/3
25.
26.
27.
28.ln3/2+5/12
29. 8a
30. 5×21/2
31. （0，1，-2）
32. 5a-11b+7c
33. 4x+4y+10z-63=0
34. y2+z2=5x
35. x+y2+z2=9
36. x轴： 4x2-9(y2+z2)=36 y轴：4(x2+z2)-9y2=36
37. x2+y2(1-x)2=9z=0
38.x2+y2+(1-x)2≤9 z=0
39. 3x-7y+5z-4=0
40. 2x+9y-6z-121=0
41. x-3y-2z=0
42. x+y-3z-4=0
43.
44.= =
45.= =
46.= =
47. 8x-9y-22z-59=0
48. (-5/3,2/3,2/3)
49.
50.
四．证明题
1．证明不等式：
证明：令
则 ，
令 得x=0
f(-1)=f(1)= ,f(0)=1
则
上式两边对x在 上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x)进行分析，显然有 于是
故
2．证明不等式
证明：显然当 时，（n>2）有
即，
3．设 ，g(x)区间 上连续，g(x)为偶函数，且 满足条件
证明：
证明：
4．设n为正整数，证明
证明：令t=2x,有
又， ，
所以，
又，
因此，
5．设 是正值连续函数， 则曲线 在 上是凹的。
证明：
故，曲线 在 上是凹的。
6.证明：
证明：
7．设 是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则
证明：
在等式两端各加 ，于是得
8．若 是连续函数，则
证明：
9．设 ， 在 上连续，证明至少存在一个 使得
证明：作辅助函数 ，由于 , 在 上连续，所以 在 上连续，在（a,b）内可导，并有由洛尔定理
即
＝0
亦即，
10．设 在 上连续，证明：
证明：令
故 是上的减函数，又 ，
故
11．设 在 上可导，且 ， 证明：
证明：由题设对 可知 在 上满足拉氏微分中值定理，于是有
又 ，因而，
由定积分比较定理，有
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