吉大13秋《工程力学》第五章轴向拉伸和压缩
吉大13秋《工程力学》第五章轴向拉伸和压缩第一节轴向拉伸和压缩时的内力拓展资源
一、轴向拉伸和压缩的概念
在工程中，经常会遇到轴向拉伸或压缩的杆件，例如图6－1所示的桁架的竖杆、斜杆和上下弦杆，图6－2所示起重架的1、2杆和做材料试验用的万能试验机的立柱。作用在这些杆上外力的合力作用线与杆轴线重合。在这种受力情况下，杆所产生的变形主要是纵向伸长或缩短。产生轴向拉伸或压缩的杆件称为拉杆或压杆。
二、内力的概念
我们知道，物体是由质点组成的，物体在没有受到外力作用时，各质点间本来就有相互作用力。物体在外力作用下，内部各质点的相对位置将发生改变，其质点的相互作用力也会发生变化。这种相互作用力由于物体受到外力作用而引起的改变量，称为“附加内力”，简称为内力。
内力随外力的增大、变形的增大而增大，当内力达到某一限度时，就会引起构件的破坏。因此，要进行构件的强度计算就必须先分析构件的内力。
三、截面法•轴力•轴力图
求构件内力的基本方法是截面法。下面通过求解图6－3（a）的拉杆m－m横截面上的内力来阐明这种方法。假想用一横截面将杆沿截面m－m截开，取左段为研究对象图6－3（b）。由于整个杆件是处于平衡状态的，所以左段也保持平衡，由平衡条件 可知，截面m－m上的分布内力的合力必是与杆轴相重合的一个力，且 ，其指向背离截面。同样，若取右段为研究对象图6－3（c），可得出相同的结果。
对于压杆，也可通过上述方法求得其任一横截面m－m上的轴力N，其指向如图6－4所示。
把作用线与杆轴线相重合的内力称为轴力，用符号N表示。背离截面的轴力称为拉力，指向截面的轴力称为压力。通常规定：拉力为正，压力为负。
轴力的单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）。
这种假想用一截面将物体截开为两部分，取其中一部分为研究对象，利用平衡条件求解截面内力的方法称截面法。
综上所述，截面法包括以下三个步骤：
（1）沿所求内力的截面假想地将杆件截成两部分。
（2）取出任一部分为研究对象，并在截开面上用内力代替弃去部分对该部分的作用。
（3）列出研究对象的平衡方程，并求解内力。
例6－1 杆件受力如图6－5（a）所示，在力 、 、 作用下处于平衡。已知 ， ， ，求杆件AB和BC段的轴力。
解： 杆件承受多个轴向力作用时，外力将杆分为几段，各段杆的内力将不相同，因此要分段求出杆的力。
（1）求AB段的轴力
用1－1截面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象（图6－5（b）），截面上的轴力用 表示，并假设为拉力，由平衡方程
得正号，说明假设方向与实际方向相同，AB段的轴力为拉力。
（2）求BC段的轴力
用2－2截面在BC段内将杆截开，取左段为研究对象（图6－5（c）），截面上的轴力用 表示，由平衡方程
得负号，说明假设方向与实际方向相反，BC杆的轴力为压力。
若取右段为研究对象（图6－5（d）），由平衡方程
结果与取左段相同。
必须指出：在采用截面法之前，是不能随意使用力的可传性和力偶的可移性原理。这是因为将外力移动后就改变了杆件的变形性质，并使内力也随之改变。如将上例中的 移到A点，则AB段将受压而缩短，其轴力也变为压力。可见，外力使物体产生内力和变形，不但与外力的大小有关，而且与外力的作用位置及作用方式有关。
当杆件受到多于两个的轴向外力作用时，在杆的不同截面上轴力将不相同，在这种情况下，对杆件进行强度计算时，必须知道杆的各个横截面上的轴力，最大轴力的数值及其所在截面的位置。为了直观地看出轴力沿横截面位置的变化情况，可按选定的比例尺，用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示各横截面轴力的大小，绘出表示轴力与截面位置关系的图线，该图线就称为轴力图。画图时，习惯上将正值的轴力画在上侧，负值的轴力画在下侧。
例6－2 杆件受力图6－6（a）所示。试求杆内的轴力并作出轴力图。
解：（1）为了运算方便，首先求出支座反力。根据平衡条件可知，轴向拉压杆固定端的支座反力只有R图6－6（b），取整根杆为研究对象，列平衡方程：
（2）求各段杆的轴力
在计算中，为了使计算结果的正负号与轴力规定的符号一致，在假设截面轴力指向时，一律假设为拉力。如果计算结果为正，表明内力的实际指向与假设指向相同，轴力为拉力，如果计算结果为负，表明内力的实际指向与假设指向相反，轴力为压力。
求AB段轴力：用1－1截面将杆件在AB段内截开，取左段为研究对象（图6－6（c）），以 表示截面上的轴力，由平衡方程
（拉力）
求BC段的轴力：用2－2截面将杆件截断，取左段为研究对象（图6－6（d）），由平衡方程
（拉力）
求CD段轴力：用3－3截面将杆件截断，取左段为研究对象（图6－6（e）），由平衡方程
（压力）
求DE段轴力：用4－4截面将杆件截断，取右段为研究对象（图6－6（f）），由平衡方程
（拉力）
（3）画轴力图
以平行于杆轴的X轴为横坐标，垂直于杆轴的坐标轴为N轴，接一定比例将各段轴力标在坐标轴上，可作出轴力图，如图6－6（g）所示。
第四节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
前面所讨论的拉（压）杆的计算中，曾涉及到材料在轴向拉（压）时的一些有关数据，如弹性模量和比例极限等。材料在受力过程中各种物理性质的数据称为材料的力学性能。它们都是通过材料试验来测定的。实验证明，材料的力学性能不仅与材料自身的性质有关，还与荷载的类别（静荷载、动荷载），温度条件（高温、常温、低温）等因素有关。本节只讨论材料在常温、静载下的力学性能。
工程中使用的材料种类很多，可根据试件在拉断时塑性变形的大小，区分为塑性材料和脆性材料。塑性材料在拉断时具有较大的塑性变形，如低碳钢、合金钢、铅、铝等；脆性材料在拉断时，塑性变形很小，如铸铁、砖、混凝土等。这二类材料其力学性能有明显的不同。实验研究中常把工程上用途较广泛的低碳钢和铸铁作为两类材料的代表性试验。
一、材料在拉伸时的力学性能
试件的尺寸和形状对试验结果有很大的影响，为了便于比较不同材料的试验结果，在做试验时，应该将材料做成国家统一的标准试件，如图6－14所示。试件的中间部分较细，两端加粗，便于将试件安装在试验的夹具中。在中间等直部分上标出一段作为工作段，用来测量变形，其长度称为标距 。
为了便于比较不同粗细试件工作段的变形程度，通常对圆截面标准试件的标距 与横截面直径的比例加以规定： 和 。矩形截面试件标距和截面面积 A之间的关系规定为： 和 。
（一）低碳钢的拉伸试验
1．拉伸图、应力应变图
将低碳钢的标准试件夹在试验机上，然后开动试验机，缓慢加力。从零开始直至拉断为止。在试验过程中，注意观察出现的各种现象和记录一系列拉力P与试件标距对应伸长 的数据。以拉力P为纵坐标， 为横坐标，将P与 的关系按一定比例绘制成曲线，这条曲线就称为材料的拉伸图。如图6－15所示。一般试验机上均有自动绘图装置，试件拉伸过程中能自动绘出拉伸图。
由于 与试件的标距及横截面面积A有关，因此，即使是同一种材料，当试件尺寸不同时，其拉伸图也不同。为了消除试件尺寸的影响，使实验结果反映材料的力学性能，常对拉伸图的纵坐标即P除以试件横截面的原面积A，用应力 表示；将其横坐标 除以试件工作段的原长 ，用线应变 表示。这样得到的一条应力 与应变 之间的关系曲线。此曲线称为应力—应变图（ 图）如图6－16所示。
2．拉伸过程的四个阶段
根据低碳钢应力应变曲线特点，可以将低碳钢拉伸过程分为四个阶段。
（1）弹性阶段（图6－16中ob段）
在试件的应力不超过b点所对应的应力时，材料的变形全部是弹性的，即卸除荷载时，试件的变形可全部消失。与这段图线的最高点b相对应的应力值称为材料的弹性极限，以 表示。
在弹性阶段，拉伸的初始阶段oa为直线，表明 与 成正比。a点对应的应力称为材料的比例极限，用 表示。常见的Ｑ235低碳钢受拉时的比例极限 为200MPa。
根据虎克定律可知，图中直线oa与横坐标 的夹角 正切就是材料的弹性模量，即
（6－10）
弹性极限 与比例极限 二者意义不同，但由试验得出的数值很接近，因此，通常工程上对它们不加严格区分，常近似认为在弹性范围内材料服从虎克定律。
（2）屈服阶段（图6－16中的bc段）
当应力超过b点对应的应力后，应变增加很快，应力仅在一个微小的范围内波动，在 图上呈现出一段接近水平的“锯齿”形线段bc。这种材料的应力几乎不增大，但应变迅速增加的现象称屈服（或流动）。bc段称为屈服阶段。在屈服阶段， 图中曲线有一段微小的波动，其最高点的应力值称为屈服高限，而最低点的应力值称为屈服低限。实验表明，很多因素对屈服高限的数值有影响，而屈服低限则较为稳定。因此，通常将屈服低限称为材料的屈服极限或流动极限，以 表示。常见的 低碳钢的屈服极限 为240MPa。
当材料到达屈服阶段时，如果试件表面光滑，则在试件表面上可以看到许多与试件轴线约成 的条纹，这种条纹就称为滑移线。这是由于在 斜面上存在最大剪应力，造成材料内部晶格之间发生相互滑移所致。一般认为，晶体的相对滑移是产生塑性变形的根本原因。
应力达到屈服时，材料出现了显著的塑性变形，使构件不能正常工作，故在构件设计时，一般应将构件的最大工作应力限制在屈服极限 以下，因此，屈服极限是衡量材料强度的一个重要指标。
（3）强化阶段（图6－16的cd段）
经过屈服阶段，材料又恢复了抵抗变形的能力， 图中曲线又继续上升，这表明若要试件继续变形，必须增加应力，这一阶段称为强化阶段。
由于试件在强化阶段中的变形主要是塑性变形，所以要比在弹性阶段内试件的变形大得多，在此阶段，可以明显地看到整个试件的横向尺寸在缩小。图6－16中曲线最高点d所对应的应力称为强度极限，以 表示。强度极限是材料所能承受的最大应力，它是衡量材料强度的一个重要指标。低碳钢的强度极限约为400MPa。
（4）颈缩阶段（图6－16中的de段）
当应力达到强度极限后，可以看到在试件的某一小段内的横截面显著收缩，出现如图6－17所示的“颈缩”现象。由于颈缩处截面面积迅速缩小，试件继续变形所需的拉力P反而下降，图6－16中的 曲线开始下降，曲线出现de段的形状，最后当曲线到达e点时，试件被拉断，这一阶段称为“颈缩”阶段。
对于低碳钢来说，屈服极限 和强度极限 是衡量材料强度的两个重要指标。
3．塑性指标
试件断裂后，弹性变形消失了，塑性变形残余了下来。试件断裂后所遗留下来的塑性变形大小，常用来衡量材料的塑性性能。塑性性能指标有两个：
（1）延伸率
图6－18试件的工作段在拉断后的长度 与原长 之差（即在试件拉断后其工作段总的塑性变形）除以 的百分比，称为材料的延伸率。即
（6－11）
延伸率是衡量材料塑性的一个重要指标，一般可按延伸率的大小将材料分为两类。 的材料作为塑性材料， 作为脆性材料。低碳钢的延伸率约为20%～30%。
（2）截面收缩率
试件断裂处的最小横截面面积用 表示，原截面面积A，则比值
（6－12）
称为截面收缩率。低碳钢的 值约为60%左右。
4．冷作硬化
在试验过程中，如加载到强化阶段某点f时（图6－19），将荷载逐渐减小到零，可以看到，卸载过程中应力与应变仍保持为直线关系，且卸载直线fo1与弹性阶段内的直线oa近乎平行。在图6－19所示的 曲线中，f点的横坐标可以看成是oo1与o1g之和，其中oo1是塑性变形 ，o1g是弹性变形 。
如果在卸载后又立即重新加载，则应力—应变曲线将沿o1f上升，并且到达f点后转向原曲线fde。最后到达e点。这表明，如果将材料预拉到强化阶段，然后卸载，当再加载时，比例极限和屈服极限得到提高，但塑性变形减少。我们把材料的这种特性称为冷作硬化。
在工程上常利用钢筋的冷作硬化这一特性来提高钢筋的屈服极限。例如可以通过在常温下将钢筋预先拉长一定数值的办法来提高钢筋的屈服极限。这种办法称为冷拉。实践证明，按照规定来冷拉钢筋，一般可以节约钢材10～20%。钢筋经过冷拉后，虽然强度有所提高，但减少了塑性，从而增加了脆性。这对于承受冲击和振动荷载是非常不利的。所以，在工程实际中，凡是承受冲击和振动荷载作用的结构部位及结构的重要部位，不应使用冷拉钢筋。另外，钢筋在冷拉后并不能提高抗压强度，因此，用冷拉钢筋作受压钢筋时，不能用其冷拉后提高的强度。
（二） 其它材料拉伸时的力学性能
1．其它塑性材料
其它金属材料的拉伸试验和低碳钢拉伸实验作法相同，如图6－20分别给出了锰钢硬铝、退火球墨铸铁、青铜和低碳钢的应力—应变曲线。从图中可见，前三种材料就不象低碳钢那样具有明显的屈服阶段，但这些材料的共同特点是延伸率 均较大，它们和低碳钢一样都属于塑性材料。
对于没有屈服阶段的塑性材料，通常用名义屈服极限作为衡量材料强度的指标。规定将对应于塑性应变为 时的应力定为名义屈服极限，并以 表示。如图6－21所示。图中CD直线与弹性阶段内的直线部分平行。
2．脆性材料
工程上也常用脆性材料，如铸铁、玻璃钢、混凝土等。这些材料在拉伸时，一直到断裂，变形都不显著，而且没有屈服阶段和颈缩现象，只有断裂时的强度极限 。图6－22所示是灰口铸铁和玻璃钢受拉伸时的 曲线。玻璃钢几乎到试件拉断时都是直线，即弹性阶段一直延续到接近断裂。灰口铸铁的 全部是曲线，没有显著的直线部分，但由于直到拉断时变形都非常小，因此，一般近似地将 曲线用一条割线来代替（如图6－22中虚线），从而确定其弹性模量，称之为割线弹性模量。并认为材料在这一范围内是符合虎克定律的。灰口铸铁通常以产生0.1%的总应变所对应的曲线的割线条件来表示材料的弹性模量。
衡量脆性材料强度的唯一指标是强度极限 。
二、材料在压缩时的力学性能
金属材料（如低碳钢、铸铁等）压缩试验的试件为圆柱形，高约为直径的1.5～3倍，高度不能太大，否则受压后容易发生弯曲变形；非金属材料（如砼、石料等）试件为立方块（如图6－23所示）。
（一）塑性材料的压缩试验
如图6－24所示，图中虚线表示低碳钢拉伸时的 曲线，实线为压缩时的 曲线。比较两者，可以看出在屈服阶段以前，两曲线基本上是重合的。低碳钢的比例极限 ，弹性模量E，屈服极限 都与拉伸时相同。当应力超出比例极限后，试件出现显著的塑性变形，试件明显缩短，横截面增大，随着荷载的增加，试件越压越扁，但并不破坏，无法测出强度极限。因此，低碳钢压缩时的一些力学性能指标可通过拉伸试验测定，一般不须作压缩实验。
一般塑性材料都存在上述情况。但有些塑性材料压缩与拉伸时的屈服点的应力不同。如铬钢、硅合金钢，因此对这些材料还要测定其压缩时的屈服应力。
（二）脆性材料
如图6－25所示，图中虚线表示铸铁受拉时的曲线，实线表示受压缩时的 曲线，由图可见，铸铁压缩时的强度极限约为受拉时的2～4倍，延伸率也比拉伸时大。
铸铁试件将沿与轴线成 的斜截面上发生破坏，即在最大剪应力所在面上破坏。说明铸铁的抗剪强度低于抗拉压强度。
其它脆性材料如砼、石料及非金属材料的抗压强度也远高于抗拉强度。
木材是各向异性材料，其力学性能具有方向性，顺纹方向的强度要比横纹方向高得多，而且其抗拉强度高于抗压强度，如图6－26为松木的 曲线。
三、两类材料力学性能的比较
通过上面试验分析，塑性材料和脆性材料在力学性能上的主要差别是：
（一）强度方面
塑性材料拉伸和压缩的弹性极限、屈服极限基本相同。脆性材料压缩时的强度极限远比拉伸时大，因此，一般适用于受压构件。塑性材料在应力超过弹性极限后有屈服现象；而脆性材料没有屈服现象，破坏是突然的。
（二）变形方面
塑性材料的 和 值都比较大，构件破坏前有较大的塑性变形，材料的可塑性大，便于加工和安装时的矫正。脆性材料的 和 较小，难以加工，在安装时的矫正中易产生裂纹和损坏。
必须指出，上述关于塑性材料和脆性材料的概念是指常温、静载时的情况。实际上，材料是塑性的还是脆性并非一成不变，它将随条件而变化。如加载速度、温度高低、受力状态都能使其发生变化。例如，低碳钢在低温时也会变得很脆。
第五节轴向拉（压）杆的强度条件及其应用
一、材料的极限应力
任何一种构件材料都存在一个能承受力的固有极限，称为极限应力，用 表示。当杆内的工作应力到达此值时，杆件就会破坏。
通过材料的拉伸（或压缩）试验，可以找出材料在拉伸和压缩时的极限应力。对塑性材料，当应力达到屈服极限时，将出现显著的塑性变形，会影响构件的使用。对于脆性材料，破坏前变形很小，当构件达到强度极限时，会引起断裂，所以
对塑性材料
对脆性材料
二、容许应力和安全系数
在理想情况下，为了保证构件能正常工作，必须使构件工作时产生的工作应力不超过材料的极限应力。由于在实际设计计算时有许多因素无法预计，例如实际荷载有可能超出在计算中所采用的标准荷载，实际结构取用的计算简图往往会忽略一些次要因素，个别构件在经过加工后有可能比规格上的尺寸小，材料并不是绝对均匀的等等。这些因素都会造成构件偏于不安全的后果。此外，考虑到构件在使用过程中可能遇到的意外事故或其它不利的工作条件，构件的重要性等的影响。因此，在设计计算时，必须使构件有必要的安全储备。即构件中的最大工作应力不超过某一限值，其极限值规定将极限应力 缩小K倍，作为衡量材料承载能力的依据，称为容许应力（或称为许用应力），用 表示，即
（6－13）
K是一个大于1的系数，称为安全系数。
安全系数K的确定相当重要又比较复杂，选用过大，设计的构件过于安全，用料增多，选用过小，安全储备减少，构件偏于危险。
在静载作用下，脆性材料破坏时没有明显变形的“预告”，破坏是突然的，所以，所取的安全系数要比塑性材料大。一般工程中
脆性材料
2.5～3.0
塑性材料
1.4～1.7
常用材料的许用应力可见表6－2。
常用材料的许用应力 表6－2
材料名称 牌号 应力种类(MPa)
[σ] [σy] [τ]
普通碳钢
普通碳钢
优质碳钢
低碳合金钢
灰铸铁
铜
铝
松木(顺纹)
混凝土 Q215
Q235
45
16Mn
137～152
152～167
216～238
211～238
28～78
29～118
29～78
6.9～9.8
0.098～0.69 137～152
152～167
216～238
211～238
118～147
29～118
29～78
8.8～12
0.98～8.8 84～93
93.～98
128～142
127～142
－
－
－
0.98～1.27
－
注：（1）为容许拉应力， 为许用压应力， 为许用剪应力。
（2） 材料质量好，厚度或直径较小时取上限；材料质量较差，尺寸较大时取下限；其详细规定，可参阅有关设计规范或手册。
三、轴向拉（压）杆的强度条件和强度计算
由前面讨论知道，拉（压）杆的工作应力 ，为了保证构件能安全正常的工作，则杆内最大的工作应力不得超过材料的容许应力。即
（6－14）
式（6－14）称为拉（压）杆的强度条件。
在轴向拉（压）杆中，产生最大正应力的截面称为危险截面。对于轴向拉压的等直杆，其轴力最大的截面就是危险截面。
应用强度条件（式（6－14））可以解决轴向拉（压）杆在强度计算的三类问题。：
1．强度校核
已知杆的材料、尺寸（已知 和A）和所受的荷载（已知N）的情况下，可用式（6－14）检查和校核杆的强度。如 ，表示杆的强度是满足的，否则不满足强度条件。
根据既要保证安全又要节约材料的原则，构件的工作应力不应该小于材料的容许应力 太多，有时工作应力也允许大于 ，但是规定以不超过容许应力的5%为限。
2．截面选择
已知所受的荷载，构件的材料，则构件所需的横截面面积A可用下式计算
3．确定许可荷载
已知杆的尺寸、材料，确定杆能承受的最大轴力，并由此计算杆能承受的许可荷载。
例6－7 一直杆受力情况如图6－27（a）所示。直杆的横载面面积 ，材料的容许应力 ，试校核杆的强度。
解：首先绘出直杆的轴力图，如图6－27（b）所示，由于是等直杆，产生最大内力的CD段的截面是危险截面，由强度条件得
所以满足强度条件。
例6－8 图示6-28（a）的支架，①杆为直径 的钢圆截面杆，许用应力 ，②杆为边长 的正方形截面杆， ，在结点B处挂一重物P，求许可荷载 。
解：（1） 计算杆的轴力。
取结点B为研究对象（图6－28（b）），列平衡方程
式中 由几何关系得： ，则 。
解方程得： （拉力）
（压力）
（2）计算许可荷载
先根据①杆的强度条件计算杆1能承受的许可荷载
所以
再根据②杆的强度条件计算②杆能承受的许可荷载
所以
比较两次所得的许可荷载，取其较小者，则整个支架的许可荷载为 。
例6－9 起重机如图6－29（a）所示，起重机的起重量 ，绳索AB的许用应力 ，试根据绳索的强度条件选择其直径 。
解：先求绳索AB的轴力。取BCD为研究对象，受力图如图6－29（b）所示，列平衡方程：
（a）
因为
所以
代入（a）式解得
再由强度条件求出绳索的直径
第六节应力集中的概念
一、应力集中的概念
等截面直杆受轴向拉伸和压缩时，横截面上的应力是均匀分布的。但是工程上由于实际的需要，常在一些构件上钻孔，开槽以及制成阶梯形等，以致截面的形状和尺寸发生了较急的改变。由实验和理论研究表明，构件在截面突变处应力并不是均匀分布的。例如图6－30（a）所示开有圆孔的直杆受到轴向拉伸时，在圆孔附近的局部区域内，应力的数值剧烈增加，而在稍远的地方，应力迅速降低而趋于均匀（图6－30（b））。又如图6－31（a）所示具有浅槽的圆截面拉杆，在靠近槽边处应力很大，在开槽的横截面上，其应力分布如图6－31（b）所示。这种由于杆件外形的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
二、应力集中对构件强度的影响
应力集中对构件强度的影响随构件性能不同而异。当构件截面有突变时会在突变部分发生应力集中现象，截面应力呈不均匀分布（图6－32（a））。继续增大外力时，塑性材料构件截面上的应力最高点首先到达屈服极限 （图6－32（b））。若再继续增加外力，该点的应力不会增大，只是应变增加，其它点处的应力继续提高，以保持内外力平衡。外力不断加大，截面上到达屈服极限的区域也逐渐扩大（图6－32（c）、（d）），直至整截面上各点应力都达到屈服极限，构件才丧失工作能力。因此，对于用塑性材料制成的构件，尽管有应力集中，却并不显著降低它抵抗荷载的能力，所以在强度计算中可以不考虑应力集中的影响。脆性材料没有屈服阶段，当应力集中处的最大应力达到材料的强度极限时，将导致构件的突然断裂，大大降低了构件的承载能力。因此，必须考虑应力集中对其强度的影响。
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