吉大13秋《结构力学》第九章渐近法课堂笔记
吉大13秋《结构力学》第九章 渐近法 课堂笔记 主要知识点掌握程度
基本要求：力矩分配法的基本概念，多结点的力矩分配，力矩分配法与位移法的联合应用。重点：力矩分配法的基本概念，解题方法及步骤。难点：力矩分配法的基本概念的理解。
知识点整理
渐近法（力矩分配法）是基于位移法的逐步逼近精确解的近似方法。单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结构。
一、基本概念
1、固端弯矩
固端弯矩——荷载引起的单跨梁两端的杆端弯矩，绕杆端顺时针为正。
固定状态：
——不平衡力矩，顺时针为正；
放松状态：需借助分配系数，传递系数等概念求解。
2、不平衡力矩
结构无结点转角位移时，交汇于A结点各杆固端弯矩的代数和，称为A结点的不平衡力矩。
它可由位移法三类杆件的载常数求得。
3、转动刚度
AB杆仅当A端产生单位转动时，A端所施加的杆端弯矩，称为AB杆A端的转动刚度，记作 。
对等直杆，由形常数可知 只与B端的支撑条件有关。
三种基本单跨梁的转动刚度分别为：
A端一般称为近端（本端），B端一般称为远端（它端）。
4、分配系数
分配系数——结构交汇于某B结点各杆的转动刚度总和分子某杆该端的转动刚度，称为该杆A结点的分配系数。
例如交汇于B结点的n杆中第i杆B结点的分配系数为：
显然，B结点各杆的分配系数总和恒等于1。
分配力矩——将B结点的不平衡力矩改变符号，乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端弯矩称为该点各杆的分类力矩（分配弯矩）。
5、传递系数
传递系数——三类位移法基本杆件AB，当仅其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数，记作CAB。
例如对位移法三类等直杆：
显然，传递系数也仅与远端约束有关。
6、传递力矩
传递力矩——将B结点的分配力矩乘以传递系数，所得到的杆端弯矩称为该点远端的传递力矩（传递弯矩）。
最终杆端弯矩——杆端固端弯矩、全部分配弯矩和传递弯矩的代数和即为该杆端的最终杆端弯矩。
二、弯矩分配法的物理概念
对于仅一个转动位移的结构，应用上述名字，本质是位移法的求解也可看成是：先固定结点，由固端弯矩获得结点不平衡力矩；然后用分配系数求杆端分配弯矩；接着用传递系数求传递弯矩；最后计算杆端最终杆端弯矩。这种直接求杆端弯矩，区段叠加作M图的方法即为弯矩分配法。
1、单结点分配
设有如图所示单结点（位移）结构。
首先锁定结点使无位移，由载常数可获得AC、CB杆的固端弯矩，此时附加刚臂上产生不平衡力矩
。
放松结点（反向加不平衡力矩）使产生实际结点位移，此时可分配和传递，计算分配和传递弯矩。
锁定结果和放松结果叠加，结点达到平衡、产生实际结点位移，这就是位移法的结果。因此杆端最终弯矩由固端弯矩和分配弯矩（或传递弯矩）相加得到，这时结果是精确解。
2、多结点（位移）分配
对多结点（位移）结构，弯矩分配法的思路是：首先将全部结点锁定，然后从不平衡力矩最大的一结点开始，在锁定其他结点条件下放松该结点使其达到“平衡”（包括分配和传递）。接着重新锁定该结点，放松不平衡力矩次大的结点，如此一轮一轮逐点放松，直至不平衡力矩小到可忽略。最后累加固端、分配和传递得结果。
因为分配系数小于1，传递系数也小于1(因为定向支座处不分配)，因此一轮分配、传递后，新的不平衡力矩一定比原来的小，理论上经过无限次分配、传递结构一定达到平衡，也即可以获得问题的精确解。
由弯矩分配法思路可知，对多结点问题它是一种逐渐逼近精确解的近似方法。
实际应用时，一般只进行二、三轮的分配和传递(考试只进行二轮即可)。
分配和传递可从任意一点开始，一般从不平衡力矩最大点开始，经验证明这样可加速收敛。
例1 试作刚架的弯矩图。
解：（1）计算各杆端分配系数
（2）计算固端弯矩
（3）进行力矩的分配和传递
结点A的不平衡力矩为
将其反号并乘以分配系数即得各近端的分配弯矩，再乘以传递系数即得各远端的传递弯矩。
（4）计算杆端最后弯矩
将固端弯矩和分配弯矩、传递弯矩叠加，便得到各杆端最后弯矩。
例2 计算图示梁，作弯矩图。
解：
例3 计算图示刚架，作弯矩图。
解：
3、多结点力矩分配固定状态
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