福师15春《实变函数》在线作业答案
福师15春《实变函数》在线作业一一、单选题：
1.若|A|=|B|,|C|=|D|，则|A∪C|=|C∪D|. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
2.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞ (满分:2)
A. 错误
B. 正确
3.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
4.可数集的测度必为零，反之也成立. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
5.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
二、多选题：
6.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
7.设f为上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
8.有界可测函数f在区间上L可积的充要条件是f在上几乎处处连续. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
9.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
10.若f∈C1（连续可微）,则f∈Lip，f∈AC. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
11.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
12.若f有界且m(X)<∞,则f可测。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
13.存在某区间上增函数f，使得f'(x)在上积分值∫fdx<f(b)-f(a) . (满分:2)
A. 错误
B. 正确
三、判断题：
14.若fn测度收敛于f，则1/fn也测度收敛于1/f. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
15.f可积的充要条件:|f|可积。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
16.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
17.若fn与gn分别测度收敛于f与g，且fn<=gn，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
18.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
19.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
20.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
21.若f∈Lip,则f∈AC. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
22.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
23.可数个Gdelta集之交和有限个Gdelta集之并仍是Gdelta集，但可数个Gdelta集之并未必仍是Gdelta集 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
24.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
25.增函数f在上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
26.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
27.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
28.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
29.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
30.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
31.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
32.f为上减函数，则f'(x)在可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) . (满分:2)
A. 错误
B. 正确
33.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
34.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
35.零测度集的任何子集都是可测集. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
36.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
37.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
1.下列关系式中不成立的是( ) (满分:2)
A. f(∪Ai)=∪f(Ai)
B. f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
2.若A为R^n中一疏集，则( ) (满分:2)
A. Ac为稠集
B. A为开集
C. A为孤立点集
D. A不完备
3.fn->f,a.e.,则 (满分:2)
A. fn依测度收敛于f
B. fn几乎一致收敛于f
C. fn一致收敛于f
D. |fn|->|f|
a.e.
4.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0( ) (满分:2)
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
5.在( )条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测. (满分:2)
A. mE=0
B. 0<mE<+∞
C. mE=+∞
D. 0<=mE<=+∞
1.若f∈AC，则( ) (满分:2)
A. f∈C[a
b]
B. f∈BV[a
b]
C. f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt
D. f∈Lip[a
b]
2.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则 (满分:2)
A. m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B. 若E1包含于E2
mE1<=mE2
C. 若E1包含于E2
m(E2\E1)=mE2-mE1
3.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则( ) (满分:2)
A. f在R上处处不连续
B. f在R上为可测函数
C. f几乎处处连续
D. f不是可测函数
4.若f(x)为Lebesgue可积函数，则( ) (满分:2)
A. f可测
B. |f|可积
C. f^2可积
D. |f|<∞.a.e.
5.A，B是两个集合，则下列正确的是( ) (满分:2)
A. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
6.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上 (满分:2)
A. 有L积分值
B. 广义R可积
C. L可积
D. 积分具有绝对连续性
7.若0<=g<=f且f可积，则( ) (满分:2)
A. g可积
B. g可测
C. g<∞，a.e.
D. 当g可测时g必可积
8.若f,g是有界变差函数，则( ) (满分:2)
A. f+g有界变差函数
B. fg有界变差函数
C. f/g有界变差函数
D. max(f
g)有界变差函数福师《实变函数》在线作业二
一、单选题：
1.存在某区间上增函数f，使得f'(x)在上积分值∫fdx<f(b)-f(a) . (满分:2)
A. 错误
B. 正确
2.增函数f在上几乎处处可微。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
3.g的连续点是L点，但L点未必是连续点. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
4.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
5.若f∈L1,则几乎所有的x属于均是g的L点. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
二、多选题：
6.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
7.f在上为增函数，则f的导数f'∈L1. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
8.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
9.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
10.若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
11.函数f在区间上Ｒ可积的充要条件是f在区间上的不连续点集为零测度集. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
12.f在E上可积的充要条件是级数 M之和收敛. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
13.若f可测，则|f|可测，反之也成立. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
三、判断题：
14.闭集套定理的内容是：{Fk}是R^n中非空有界闭集的降列，则Fk对所有k取交集非空. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
15.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
16.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞ (满分:2)
A. 错误
B. 正确
17.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
18.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
19.f可积的充要条件:|f|可积。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
20.对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim{n->+∞} n·M=0. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
21.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
22.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
23.f在上为增函数，则f'(x)在上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) . (满分:2)
A. 错误
B. 正确
24.f,g∈M(X),则fg∈M(X). (满分:2)
A. 错误
B. 正确
25.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
26.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
27.设f为上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
28.不存在这样的函数f：在区间上增且使得f'(x)在上积分值∫fdx<f(b)-f(a) . (满分:2)
A. 错误
B. 正确
29.若f∈Lip,则f∈AC. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
30.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
31.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
32.若f广义R可积且f不变号，则f L可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
33.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
34.设f是区间上的有界实函数，则f在上R可积，当且仅当f在上几乎处处连续. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
35.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
36.可数个Gdelta集之交和有限个Gdelta集之并仍是Gdelta集，但可数个Gdelta集之并未必仍是Gdelta集 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
37.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
1.若f∈L(X),则 (满分:2)
A. f在X上几乎处处连续
B. 存在g∈L(X)使得|f|<=g
C. 若∫Xfdu=0
则f=0
a.e.
2.在( )条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测. (满分:2)
A. mE=0
B. 0<mE<+∞
C. mE=+∞
D. 0<=mE<=+∞
3.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0( ) (满分:2)
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
4.下列关系式中不成立的是( ) (满分:2)
A. f(∪Ai)=∪f(Ai)
B. f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
5.有限个可数集的乘积集是( ) (满分:2)
A. 有限集
B. 可数集
C. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
1.A，B是两个集合，则下列正确的是( ) (满分:2)
A. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
2.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则( ) (满分:2)
A. m(A)<m(B)
B. m(A)<=m(B)
C. m(B\A)=m(A)
D. m(B)=m(A)+m(B\A)
3.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则 (满分:2)
A. m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B. 若E1包含于E2
mE1<=mE2
C. 若E1包含于E2
m(E2\E1)=mE2-mE1
4.若f∈AC，则( ) (满分:2)
A. f∈C[a
b]
B. f∈BV[a
b]
C. f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt
D. f∈Lip[a
b]
5.若0<=g<=f且f可积，则( ) (满分:2)
A. g可积
B. g可测
C. g<∞，a.e.
D. 当g可测时g必可积
6.设f为上增函数，则f为( ) (满分:2)
A. 几乎处处可微
B. L可积
C. f'可积
D. 区间[a
b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
7.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上 (满分:2)
A. 有L积分值
B. 广义R可积
C. L可积
D. 积分具有绝对连续性
8.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则( ) (满分:2)
A. fn测度收敛于|f|
B. afn+bgn测度收敛于af+bg
C.(fn)^2测度收敛于f^2
D. fngn测度收敛于fg
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