福师16春《实变函数》在线作业一二标准答案
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一、单选题：
1.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
2.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
3.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
4.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
5.f在上为增函数，则f'(x)在上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) . (满分:2)
A. 错误
B. 正确
二、多选题：
6.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
7.对任意可测集E，若f在E上可积，则有Lim{n->+∞} n·M=0. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
8.增函数f在上几乎处处可微。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
9.若f∈BV,则f有界。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
10.测度为零的集称为零测集. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
11.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
12.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim{x->+∞}f(x)=0. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
13.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
三、判断题：
14.增函数f在上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
15.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
16.若fn与gn分别测度收敛于f与g，且fn<=gn，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
17.设f是区间上的有界实函数，则f在上R可积，当且仅当f在上几乎处处连续. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
18.若f有界且m(X)<∞,则f可测。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
19.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
20.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
21.f在E上可积的充要条件是级数 M之和收敛. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
22.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
23.存在某区间上增函数f，使得f'(x)在上积分值∫fdx<f(b)-f(a) . (满分:2)
A. 错误
B. 正确
24.存在上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等． (满分:2)
A. 错误
B. 正确
25.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
26.可数个Gdelta集之交和有限个Gdelta集之并仍是Gdelta集，但可数个Gdelta集之并未必仍是Gdelta集 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
27.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
28.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
29.f可积的充要条件是f+和f-都可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
30.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
31.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
32.若f广义R可积且f不变号，则f L可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
33.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
34.闭集套定理的内容是：{Fk}是R^n中非空有界闭集的降列，则Fk对所有k取交集非空. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
35.f为上减函数，则f'(x)在可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) . (满分:2)
A. 错误
B. 正确
36.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
37.f在上为增函数，则f的导数f'∈L1. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
1.设g(x)是上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是上的 (满分:2)
A. 连续函数
B. 单调函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
2.在( )条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测. (满分:2)
A. mE=0
B. 0<mE<+∞
C. mE=+∞
D. 0<=mE<=+∞
3.若|A|=|B|,|C|=|D|,则 (满分:2)
A. |A∪C|=|B∪D|
B. |A∩C|=|B∩D|
C. |A\C|=|B\D|
D. 当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
4.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0( ) (满分:2)
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
5.有限个可数集的乘积集是( ) (满分:2)
A. 有限集
B. 可数集
C. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
1.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则( ) (满分:2)
A. f在R上处处不连续
B. f在R上为可测函数
C. f几乎处处连续
D. f不是可测函数
2.若f∈AC，则( ) (满分:2)
A. f∈C[a
b]
B. f∈BV[a
b]
C. f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt
D. f∈Lip[a
b]
3.A，B是两个集合，则下列正确的是( ) (满分:2)
A. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
4.若f∈BV，则( ) (满分:2)
A. f为有界函数
B. Vax(f)为增函数
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D. f至多有可数个第一类间断点
5.若0<=g<=f且f可积，则( ) (满分:2)
A. g可积
B. g可测
C. g<∞，a.e.
D. 当g可测时g必可积
6.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上 (满分:2)
A. 广义R可积
B. 不是广义R可积
C. L可积
D. 不是L可积
7.设f为上减函数，则f为( ) (满分:2)
A. 有界函数
B. 可测函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
8.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上 (满分:2)
A. 有L积分值
B. 广义R可积
C. L可积
D. 积分具有绝对连续性
福师《实变函数》在线作业二
一、单选题：
1.设f为上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
2.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞ (满分:2)
A. 错误
B. 正确
3.有界可测函数f在区间上L可积的充要条件是f在上几乎处处连续. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
4.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
5.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
二、多选题：
6.函数f在区间上Ｒ可积的充要条件是f在区间上的不连续点集为零测度集. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
7.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
8.f可积的充要条件是f+和f-都可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
9.集合A可测等价于该集合的特征函数XA可测 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
10.若f有界且m(X)<∞,则f可测。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
11.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
12.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
13.连续函数和单调函数都是有界变差函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
三、判断题：
14.若fn测度收敛于f，则1/fn也测度收敛于1/f. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
15.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
16.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
17.当f在上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
18.设f是区间上的有界实函数，则f在上R可积，当且仅当f在上几乎处处连续. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
19.若f∈Lip,则f∈AC. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
20.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
21.存在上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等． (满分:2)
A. 错误
B. 正确
22.函数f在上为常数的充要条件是f在上绝对连续且在上几乎处处为零. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
23.若f∈BV,则f有界。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
24.增函数f在上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
25.若fn测度收敛于f，g连续，则g(fn)也测度收敛于g(f). (满分:2)
A. 错误
B. 正确
26.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
27.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
28.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
29.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
30.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim{x->+∞}f(x)=0. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
31.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
32.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
33.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
34.若A交B等于空集，则A可测时必B可测. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
35.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax (满分:2)
A. 错误
B. 正确
36.f在E上可积的充要条件是级数 M之和收敛. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
37.若fn与gn分别测度收敛于f与g，且fn<=gn，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
1.若|A|=|B|,|C|=|D|,则 (满分:2)
A. |A∪C|=|B∪D|
B. |A∩C|=|B∩D|
C. |A\C|=|B\D|
D. 当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
2.设g(x)是上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是上的 (满分:2)
A. 连续函数
B. 单调函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
3.fn->f,a.e.,则 (满分:2)
A. fn依测度收敛于f
B. fn几乎一致收敛于f
C. fn一致收敛于f
D. |fn|->|f|
a.e.
4.在( )条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测. (满分:2)
A. mE=0
B. 0<mE<+∞
C. mE=+∞
D. 0<=mE<=+∞
5.下列关系式中不成立的是( ) (满分:2)
A. f(∪Ai)=∪f(Ai)
B. f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
1.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上 (满分:2)
A. 有L积分值
B. 广义R可积
C. L可积
D. 积分具有绝对连续性
2.A，B是两个集合，则下列正确的是( ) (满分:2)
A. f^-1(f（A）)=A
B. f^-1(f（A）)包含A
C. f(f^-1（A）)=A
D. f(A\B)包含f(A)\f(B)
3.若f(x)为Lebesgue可积函数，则( ) (满分:2)
A. f可测
B. |f|可积
C. f^2可积
D. |f|<∞.a.e.
4.若f∈BV，则( ) (满分:2)
A. f为有界函数
B. Vax(f)为增函数
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D. f至多有可数个第一类间断点
5.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则( ) (满分:2)
A. fn测度收敛于|f|
B. afn+bgn测度收敛于af+bg
C.(fn)^2测度收敛于f^2
D. fngn测度收敛于fg
6.若f∈AC，则( ) (满分:2)
A. f∈C[a
b]
B. f∈BV[a
b]
C. f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt
D. f∈Lip[a
b]
7.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是 (满分:2)
A. 是L可测函数
B. 不是L可测函数
C. 有界函数
D. 连续函数
8.若f,g是有界变差函数，则( ) (满分:2)
A. f+g有界变差函数
B. fg有界变差函数
C. f/g有界变差函数
D. max(f
g)有界变差函数
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