17春华师《竞赛数学》在线作业答案
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一、单选题：
1.有5本日文书，7本英文书，10本中文书，从中取两本不同文字的书，有几种方案( )。 (满分:2)
A. 35
B. 50
C. 70
D. 155
2.不定方程x^3+y^3=1072的所有正整数解为( )。 (满分:2)
A. x=9,y=7
B. x=7,y=9
C. 选项A和B都是正整数解
D. 无正整数解
3.某三位数，个位不为1，十位不为2，百位不为3，且三个数字均不相等，则这种三位数的个数为( )。 (满分:2)
A. 468
B. 469
C. 470
D. 471
4.已知△ABC的内切圆恰好将它的中线AM分成三等分，则BC:CA:AB=( )。 (满分:2)
A. 4：3：5
B. 3：3：5
C. 1：1：1
D. 10：5：13
5.函数f是定义在正整数有序对的集合上，并满足：f(x,x)=x；f(x,y)=f(y,x)；(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)，则f(14,52)=( )。 (满分:2)
A. 364
B. 182
C. 360
D. 180
6.在小于1000的正整数中，既不能被5整除也不能被7整除的数有多少个( )。 (满分:2)
A. 666
B. 667
C. 668
D. 669
7.考虑平面上的正方形，它的四个顶点对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x^4+px^3+qx^2+rx+s=0的四个根，则该正方形面积的最小值为( )。 (满分:2)
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
8.设x,y为实数，且满足两个方程：(x-1)^3+1997(x-1)=-1；(y-1)^3+1997(y-1)=1,则x+y=( )。 (满分:2)
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
9.若2^n-1为7的倍数，则正整数n( )。 (满分:2)
A. 3m-1
B. 3m+1
C. 3m
D. 任意正整数
10.定义域为正整数的分段函数f(n)满足：当n≥1000时，f(n)=n-3；当n<1000时，f(n)=f(f(n+7))，则f(90)=( )。 (满分:2)
A. 997
B. 1000
C. 998
D. 999
11.p≥5是素数，且2p+1也是素数，则4p+1为( )。 (满分:2)
A. 质数
B. 素数
C. 合数
D. 无法判断
12.方程2x1+x2+x3+…+x10=3有多少个非负整数解( )。 (满分:2)
A. 173
B. 174
C. 175
D. 176
13.2003^2005被17除的余数为( )。 (满分:2)
A. 15
B. 13
C. 16
D. 14
14.函数方程f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy的解为( )。 (满分:2)
A. f(x)=acosx
B. f(x)=bsinx
C. f(x)=acosx+bsinx
D. f(x)=acos2x+bsin2x（a,b均为任意常数）
15.已知四边形ABCD中，∠ABD=∠ADB=15°,∠CBD=45°,∠CDB=30°,则△ABC为( )。 (满分:2)
A. 钝角三角形
B. 等边三角形
C. 等腰非等边三角形
D. 无法确定
16.对任意非负整数n,19×8^n+17是( )。 (满分:2)
A. 质数
B. 素数
C. 合数
D. 无法判断
17.二次方程(1-i)x^2+(a+i)x+(1+ia)=0(i为虚数单位，a∈R)有两个虚根的充要条件是a满足( )。 (满分:2)
A. a=2
B. a≠2
C. a=4
D. a≠4
18.把8张卡片AABBCDEF排成一列，相同字母的卡片不许相邻的排法有多少种( )。 (满分:2)
A. 6570
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B. 5670
C. 6750
D. 5760
19.对于每一对实数x,y，函数f(x)满足函数方程f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1,且若f(1)=1那么满足f(n)=n(n≠1)的整数数目个数为( )。 (满分:2)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
20.已知f(sinx)=cos2x-1，则f(x)=( )。 (满分:2)
A. 2x^2( )x|≤1)
B. -2x( )x|≤1)
C. 2x( )x|≤1)
D. -2x^2( )x|≤1)
21.最大的正整数x，使得对每一个正整数y，x都能整除7^y+12y-1，则x为( )。 (满分:2)
A. 18
B. 19
C. 20
D. 21
22.设定义域为一切正实数值为正实数的f(x)满足f(xf(y))=yf(x)(任意x>0,y>0)和f(x)→0(当x→∞)，则f(x)=( )。 (满分:2)
A. x
B. x^2
C. 1/x
D. 1/x^2
23.从A到B有3条不同的道路，从B到C有2条不同的道路，则从A经B到C的道路数为( )。 (满分:2)
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
24.给定正数p,q,a,b,c，其中p≠q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx^2-2ax+c=0( )。 (满分:2)
A. 无实根
B. 有两个相等实根
C. 有两个同号相异实根
D. 有两个异号实根
25.在1，2，3，…1998，1999这1999个数的前面任意添加一个正号或负号，则他们的代数和( )。 (满分:2)
A. 奇数
B. 偶数
C. 无法判断
D. 不存在
26.运动会连续开了n天，一共发了m枚奖牌，第一天发1枚加上剩下奖牌的1/7，第二天发2枚加上剩下奖牌的1/7，以后每天均按照此规律发奖牌，且在最后一天即第n天发剩下的n枚奖牌，则n,m为( )。 (满分:2)
A. n=7,m=49
B. n=6,m=36
C. n=5,m=25
D. n=8,m=64
27.不等式|x-5|-|2x+3|＜1的解集为( )。 (满分:2)
A. {x|x<-7或x>1/3}
B. {x|x≥5}
C. {x|1/3<x<5}
D. {x|x<-7}
28.1000!的末尾有几个零( )。 (满分:2)
A. 248
B. 249
C. 250
D. 251
29.已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，则cos2α+cos2β+cos2γ=sin2α+sin2β+sin2γ=( )。 (满分:2)
A. 2
B. 0
C. 1
D. -1
30.已知整数列｛an｝满足an=an-1-an-2(n≥3)，如果前1492项的和是1985，而前1985项的和是1942，则前2001项的和是多少( )。 (满分:2)
A. 493
B. 439
C. 968
D. 986
三、判断题：
1.存在实数b,c使得方程x^2+bx+c=0与2x^2+(b+1)x+c+1=0分别有两个整数根。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
2.锐角三角形的内接三角形中，以垂足三角形的周长为最短。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
3.设f(n)是定义在正整数集上且取正函数值的严格递增的函数，f(2)=2,当m与n互素时，f(mn)=f(m)f(n)，则对一切正整数n有f(n)=n。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
4.不定方程x^2+y^2=1983有整数解。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
5.周长为定值的平面闭曲线L所围成的面积为最大，则L一定是圆周。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
6.若a≡0(modm)，则m|a。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
7.n个整数，其积等于n，其和等于0，则4|n。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
8.a,b,c都是奇数，则方程ax^2+bx+c=0无整数解。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
9.存在定义域为实数集的函数f(x)，使得下两式成立：f(f(x))=x;f(f(x)+1)=1-x. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
10.设a,b,c是正实数，且满足abc=1，则(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)>1。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
11.设p是素数，若p|ab，则p|a或p|b。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
12.设x,y为实数，x^2+y^2≤1，则3≤|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|≤7。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
13.对任何正整数n和k，数f(n,k)=2n^3k+4n^k+10都能分解成若干个连续正整数之积。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
14.值域是有限数集的递归数列必为周期数列。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
15.方程f(x)=x的根称为f(x)的不动点。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
16.能把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着1个数，两个2之间夹着2个数，…，两个1986之间夹着1986个数。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
17.若四边形ABCD内部有一点P，使得四个三角形△PAB,△PBC,△PCD,△PCA等积，则P点必在对角线AC或BD上。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
18.正整数d不等于2，5，13，则集合｛2，5，13，d｝中找不到两个数a,b，使ab-1不是完全平方数。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
19.设p是大于5的素数，则240|p^4-1。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
20.若（a,b）=1，且a|bc，则a|c。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
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