北师17秋《微分几何》作业答案
《微分几何》作业
本课程作业由三部分组成：第一部分由6个选择题组成，每题1分，共6 分； 第二部分由2 个计算题组成，每题 6分，共12分；第三部分由两个证明题组成，每题 6分，共12分。 作业总分30分，将作为平时成绩记入课程总成绩。
一、选择题（每题1分，共 6 题）
1、三个矢量 a,b,c 共面的充要条件是()。
A. (a b) c =0
B. a(b c) =0
C. (a b) c =0
D. a (b c) =0
2、平面曲线的哪个量恒等于零（）。
A. 曲率 B. 相对曲率
C. 扰率 D. 测地曲率
3、半径为 的圆的绝对曲率为（）。
A. B. C. D.
4、下述曲线中不是光滑曲线的是 （）。
A.类曲线 B. 类曲线 C. 类曲线 D. 类曲线
5、曲线上一点处的主法线与哪个平面垂直 （）。
A. 密切平面 B. 法平面
C．法截面 D.从切平面
6、下列曲线中不是正则曲线的是 （ ）。
A. r
B.r
C. r
D. r
二、计算题（每题6分，共2题）
1. 已知曲面r=r 。 试求 在参数下的以下各量：
(1). 坐标曲线的单位切向;
(2).坐标曲线之间的夹角；
(3)．单位法向 n及其两个一阶偏导数；
(4)．第一基本形式 及其系数；
(5)．第二基本形式Ⅱ 及其系数；
(6)．Gauss曲率 。
2. 对正则曲面S: r r(u, v), (u, v)R2, 已知其第一基本形式
v
u1 uv0
(1, 1)
(0, 0)(1, 0) u
I (1cos2v)du2 (2sin2u)dv2 ,
且S上三条曲线C1: v 0 , C2: u 1, C3: uv 0在S上围出曲边
三角形ABC, 其中OA r(0,0), OB r(1,0), OC r(1,1)．
试求S上曲边三角形 ABC的边CA上切向量的方向 du:dv 、
弧长元素ds及长度L(CA) .
三、证明题（每题6分，共2题）
1、设 {P; e1 , e2 , e3} 是 E3 中的连续可微依赖于参数 t 的单位正交标架场．试证：ddt e1e2e3 关于 e1 , e2 , e3 的分解系数矩阵是由 t 的函数构成的反对称矩阵．
2、已知无逗留点的弧长参数化 C3曲线 C : r r(s) 具有Frenet标架{r(s); T(s), N(s), B(s)}，其主法线面为 S : (s, t) r(s) + tN(s) . 试证：S 可展的充要条件是 C 为平面曲线.
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