福师17秋《实变函数》在线作业12
福师《实变函数》在线作业一一、判断题:【37道,总分:74分】
1.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。 (满分:2)
A. 错误 B. 正确
2.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。 (满分:2)
A. 错误 B. 正确
3.f在上为增函数，则f'(x)在上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) . (满分:2)
A. 错误
B. 正确
4.若f∈BV,则f有界。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
5.若f∈L1,则几乎所有的x属于均是g的L点. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
6.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
7.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
8.f在上为增函数，则f的导数f'∈L1. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
9.f,g∈M(X),则fg∈M(X). (满分:2)
A. 错误
B. 正确
10.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
11.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
12.存在某区间上增函数f，使得f'(x)在上积分值∫fdx<f(b)-f(a) . (满分:2)
A. 错误
B. 正确
13.若f广义R可积且f不变号，则f L可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
14.f为上减函数，则f'(x)在可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) . (满分:2)
A. 错误
B. 正确
15.可数集的测度必为零，反之也成立. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
16.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
17.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
18.零测度集的任何子集都是可测集. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
19.g的连续点是L点，但L点未必是连续点. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
20.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
21.存在上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等． (满分:2)
A. 错误
B. 正确
22.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞ (满分:2)
A. 错误
B. 正确
23.f可积的充要条件:|f|可积。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
24.闭集套定理的内容是：{Fk}是R^n中非空有界闭集的降列，则Fk对所有k取交集非空. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
25.若fn测度收敛于f，则1/fn也测度收敛于1/f. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
26.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
27.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
28.不存在这样的函数f：在区间上增且使得f'(x)在上积分值∫fdx<f(b)-f(a) . (满分:2)
A. 错误
B. 正确
29.若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
30.f在E上可积的充要条件是级数 M之和收敛. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
31.增函数f在上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
32.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
33.集合A可测等价于该集合的特征函数XA可测 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
34.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
35.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
36.连续函数和单调函数都是有界变差函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
37.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
二、单选题:【5道,总分:10分】
1.在( )条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测. (满分:2)
A. mE=0
B. 0<mE<+∞
C. mE=+∞
D. 0<=mE<=+∞
2.fn->f,a.e.,则 (满分:2)
A. fn依测度收敛于f
B. fn几乎一致收敛于f
C. fn一致收敛于f
D. |fn|->|f|,a.e.
3.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0( ) (满分:2)
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
4.下列关系式中不成立的是( ) (满分:2)
A. f(∪Ai)=∪f(Ai)
B. f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
5.设g(x)是上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是上的 (满分:2)
A. 连续函数
B. 单调函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
三、多选题:【8道,总分:16分】
1.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则( ) (满分:2)
A. fn测度收敛于|f|
B. afn+bgn测度收敛于af+bg
C.(fn)^2测度收敛于f^2
D. fngn测度收敛于fg
2.若0<=g<=f且f可积，则( ) (满分:2)
A. g可积
B. g可测
C. g<∞，a.e.
D. 当g可测时g必可积
3.若f∈AC，则( ) (满分:2)
A. f∈C
B. f∈BV
C. f(x)=f(a)+∫ax f '(t)dt
D. f∈Lip
4.若f不可测，g可测，则下列正确的是( ) (满分:2)
A. f+g不可测
B. fg不可测
C. g^2可测
D. |g|可测
5.若f∈BV，则( ) (满分:2)
A. f为有界函数
B. Vax(f)为增函数
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D. f至多有可数个第一类间断点
6.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上 (满分:2)
A. 有L积分值
B. 广义R可积
C. L可积
D. 积分具有绝对连续性
7.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上 (满分:2)
A. 广义R可积
B. 不是广义R可积
C. L可积
D. 不是L可积
8.设f为上增函数，则f为( ) (满分:2)
A. 几乎处处可微
B. L可积
C. f'可积
D. 区间上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
福师《实变函数》在线作业二
一、判断题:【37道,总分:74分】
1.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
2.f可积的充要条件:|f|可积。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
3.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
4.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
5.f在上为增函数，则f的导数f'∈L1. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
6.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim{x->+∞}f(x)=0. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
7.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
8.可数个Gdelta集之交和有限个Gdelta集之并仍是Gdelta集，但可数个Gdelta集之并未必仍是Gdelta集 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
9.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
10.f在E上可积的充要条件是级数 M之和收敛. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
11.若fn测度收敛于f，g连续，则g(fn)也测度收敛于g(f). (满分:2)
A. 错误
B. 正确
12.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
13.当f在上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
14.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
15.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
16.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
17.f在上为增函数，则f'(x)在上积分值∫fdx≤f(b)-f(a) . (满分:2)
A. 错误
B. 正确
18.f可积的充要条件是f+和f-都可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
19.有界可测函数f在区间上L可积的充要条件是f在上几乎处处连续. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
20.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
21.g的连续点是L点，但L点未必是连续点. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
22.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
23.设f是区间上的有界实函数，则f在上R可积，当且仅当f在上几乎处处连续. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
24.若f∈BV,则f有界。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
25.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
26.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
27.若f广义R可积且f不变号，则f L可积. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
28.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
29.若f有界且m(X)<∞,则f可测。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
30.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
31.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
32.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
33.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
34.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
35.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。 (满分:2)
A. 错误
B. 正确
36.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
37.设f为上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数. (满分:2)
A. 错误
B. 正确
二、单选题:【5道,总分:10分】
1.开集减去闭集其差集是( ) (满分:2)
A. 闭集
B. 开集
C. 非开非闭集
D. 既开既闭集
2.在( )条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测. (满分:2)
A. mE=0
B. 0<mE<+∞
C. mE=+∞
D. 0<=mE<=+∞
3.若A为R^n中一疏集，则( ) (满分:2)
A. Ac为稠集
B. A为开集
C. A为孤立点集
D. A不完备
4.设g(x)是上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是上的 (满分:2)
A. 连续函数
B. 单调函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
5.有限个可数集的乘积集是( ) (满分:2)
A. 有限集
B. 可数集
C. 有连续统势的集
D. 基数为2^c的集
三、多选题:【8道,总分:16分】
1.若f∈BV，则( ) (满分:2)
A. f为有界函数
B. Vax(f)为增函数
C. 对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D. f至多有可数个第一类间断点
2.设f为上减函数，则f为( ) (满分:2)
A. 有界函数
B. 可测函数
C. 有界变差函数
D. 绝对连续函数
3.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则( ) (满分:2)
A. f在R上处处不连续
B. f在R上为可测函数
C. f几乎处处连续
D. f不是可测函数
4.若0<=g<=f且f可积，则( ) (满分:2)
A. g可积
B. g可测
C. g<∞，a.e.
D. 当g可测时g必可积
5.设f为上增函数，则f为( ) (满分:2)
A. 几乎处处可微
B. L可积
C. f'可积
D. 区间上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
6.若f不可测，g可测，则下列正确的是( ) (满分:2)
A. f+g不可测
B. fg不可测
C. g^2可测
D. |g|可测
7.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上 (满分:2)
A. 广义R可积
B. 不是广义R可积
C. L可积
D. 不是L可积
8.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上 (满分:2)
A. 有L积分值
B. 广义R可积
C. L可积
D. 积分具有绝对连续性
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